Mi dispiace di averci messo alcuni giorni a rispondere, ma ho
dovuto meditare un po' su alcuni aspetti della questione.
[Mauro D'Uffizi:]
>> >Cio� il campo magnetico generato sar� del tutto indipendente dal sistema
>di
>> >riferimento inerziale scelto.
>>
>> OK, a basse velocita`, naturalmente.
>
>Non credo sia possibile avere correnti a velocit� relativistiche all'interno
>di fili conduttori; chiss�... forse in regime di superconduzione....
Quel mio "a basse velocita`" era riferito alla velocita` del
filo nel sistema di riferimento scelto, non della corrente
rispetto al filo, ed era inteso come precisazione a quel "del
tutto indipendente".
>Non capisco per� la puntualizzazione.
>Come si modificherebbe il campo a velocit� relativistiche?
Mi riferisco sempre al moto del filo.
Per vedere cosa accade bisogna ricorrere al tensore
elettromagnetico (di solito in questi casi per alleggerire le
formule si pone c=1, assumendo il secondo-luce come unita` di
lunghezza):
0 -Ex -Ey -Ez
Ex 0 -Bz By
Ey Bz 0 -Bx
Ez -By Bx 0
che deve trasformarsi per righe e colonne seguendo le
trasformazioni di Lorentz. Diciamo che il filo giace lungo
l'asse x, la corrente scorre verso le x crescenti e il moto
relativo osservatore-filo e` pure lungo l'asse x. Nel sistema
di riferimento del filo abbiamo, in un certo punto accanto al
filo (spostandosi un po' lungo l'asse z), la sola componente
By del campo magnetico e niente campo elettrico (ovviamente,
essendo il filo neutro).
Il tensore in quel punto dovrebbe quindi ridursi a:
0 0 0 0
0 0 0 By
0 0 0 0
0 -By 0 0
Trasformo per righe: dato che il moto e`�lungo l'asse x, solo
le colonne t e x (le prime due) vengono coinvolte:
0 0 0 0
0 0 0 By
0 0 0 0
Ez' -By' 0 0
dove:
-By'=((-By)-VEz)/sqrt(1-V^2)
Ez'=(Ez-V(-By))/sqrt(1-V^2)
essendo Ez=0:
-By'=-By/sqrt(1-V^2)
Ez'=VBy/sqrt(1-V^2).
Trasformo ora per colonne (solo le prime due righe vengono
coinvolte):
0 0 0 -Ez'
0 0 0 By'
0 0 0 0
Ez' -By' 0 0
Morale: se non ho cannato i passaggi, il campo magnetico
aumenta e si forma un campo elettrico radiale.
A questo punto pero` non vorrei lasciare l'impressione che
queste strane trasformazioni del campo avvenissero per una
qualche strana influenza *diretta* della relativita` sul
campo elettromagnetico.
Non dimentichiamo che la relativita`, eccezion fatta forse
per la gravita`, descrive delle trasformazioni ma non
fornisce di per se' un meccanismo fisico che le faccia
accadere; tale meccanismo deve venire da altre leggi fisiche.
La relativita` impone a priori certe restrizioni alla
struttura delle leggi fisiche, in modo tale che, tramite la
relativita`, si puo` prevedere che certe cose debbano
accadere a prescindere dal meccanismo esatto coinvolto, che
puo` perfino essere ignoto, ma che comunque *deve* esistere.
Nel caso dell'elettromagnetismo, la relativita` impone che le
equazioni di Maxwell abbiano una struttura ben precisa, che
e`�poi quella che in effetti hanno.
Nel caso in esame (filo in movimento), tuttavia, se si
ragiona usando le *sole* equazioni di Maxwell, non si vede
proprio perche' mai dovrebbe comparire un campo elettrico e
aumentare quello magnetico.
Vediamo di capirci qualcosa. Se si sottopone a trasformazione
di Lorentz il tensore della densita` di carica-corrente (Q,
Jx, Jy, Jz) (le lettere greche in ASCII non vengono granche'
bene) si ottiene:
Jx'=(Jx-VQ)/sqrt(1-V^2)
Q'=(Q-VJx)/sqrt(1-V^2)
essendo Q=0 (il filo e` neutro nel suo riferimento):
Jx'=Jx/sqrt(1-V^2)
Q'=-VJx/sqrt(1-V^2).
Vediamo dunque che il campo elettrico salta fuori perche' in
effetti compare una carica elettrica, e che il campo
magnetico aumenta perche' aumenta la (densita` di) corrente.
OK, ora resta da capire perche' compare la carica e aumenta
la corrente. Entrambi questi effetti sono riconducibili alla
contrazione della lunghezza e/o alla dilatazione e allo
sfasamento temporale. Consideriamo la carica elettrica. Nel
filo passa corrente, ma e` neutro. Cio` equivale a supporre
che la corrente abbia iniziato a scorrere in tutti i punti
del filo contemporaneamente, altrimenti si sarebbe accumulata
una carica in qualche punto. Cio` che e` contemporaneo in un
sistema di riferimento non lo e` in un altro. Rispetto
all'osservatore in moto a velocita` V, la corrente non ha
iniziato a scorrere contemporaneamente e, come risultato, nel
filo si e` accumulata una carica elettrica. Si puo` anche
ragionare diversamente: la contrazione della lunghezza
contrae il filo, ma la corrente risulta contratta ancora di
piu' (o di meno) perche' rispetto al sistema di riferimento
va piu' velocemente (o piu' lentamente) del filo e risulta
quindi contratta in maniera diversa; la densita` della carica
in moto aumenta o diminuisce, determinando in entrambi i casi
uno squilibrio rispetto alla densita` di carica del resto del
filo, che e` di segno opposto.
Giusto per confermarlo, faccio qualche calcolo. Nel sistema
di riferimento solidale con il filo, chiamo J la densita` di
corrente, costituita da una densita` di carica Q (elettroni
di conduzione) in moto a velocita` v: J=vQ.
Di quanto aumenta Q passando al sistema di riferimento in
moto a velocita` V (nello stesso verso di v, quindi le
velocita` si sottraggono)? Insomma, quanto vale Q'?
Innanzitutto bisogna notare che Q, nel sistema di riferimento
del filo, ha gia` un leggero addensamento dovuto alla
velocita` v della corrente; chiamiamo q l'ipotetica densita`
di carica a velocita` zero, non addensata:
Q=q/sqrt(1-v^2)
Dato che la velocita` della corrente, nel sistema di
riferimento in moto rispetto al filo, non e` v-V, ma
(v-V)/(1-vV) (la fornula relativistica di sottrazione delle
velocita`), abbiamo:
Q'=q/sqrt(1-((v-V)/(1-vV))^2)
con pochi passaggi si arriva a:
Q'=(1-vV)q/(sqrt(1-v^2)sqrt(1-V^2))
Sostituendo q con Q:
Q'=(1-vV)Q/sqrt(1-V^2))
La densita` di carica di segno opposto (-Q) del resto del
filo si trasforma, sempre per contrazione della lunghezza,
come segue:
(-Q)'=(-Q)/sqrt(1-V^2)
La carica che compare nel filo in movimento a velocita` V e`
la somma delle due:
Q'+(-Q)'=(1-vV)Q/sqrt(1-V^2))+(-Q)/sqrt(1-V^2)
Q'+(-Q)'=-vVQ/sqrt(1-V^2))
Q'+(-Q)'=-VJ/sqrt(1-V^2))
il che coincide esattamente con quanto si era ottenuto
subito all'inizio, trasformando direttamente il tensore
densita` di carica-corrente.
Si puo` fare un ragionamento analogo per giustificare in modo
un po' piu' intuitivo anche l'aumento della corrente, ma mi
pare di aver gia` scritto anche troppo.
Ciao
Paolo Russo
Received on Wed Jan 16 2002 - 23:30:55 CET
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