Re: Paradosso dei gemelli anche per le lunghezze?

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: Wed, 26 Dec 2001 13:49:35 +0100

Elio Fabri wrote:

> Valter ha scritto:
> > Si puo`
> > definire una funzione che misura distanze temporali tra eventi
> > connessi timelike. Tale funzione in realta` porta *tutte* le
> > informazioni metriche e causali dello spaziotempo: non ci possono
> > essere due spazitempo con la stessa varieta` ambiente e metriche o
> > orientamento temporale diversi se hanno la stessa funzione distanza
> > temporale.
>
> Questo non lo sapevo (almeno non ricordo di averlo mai sentito). E'
> interessante. Puoi darmi qualche maggiore dettaglio?


Al resto rispondero` con piu` calma, ora non ho tempo di leggere
e pensare con attenzione (ed ho anche altri impegni con la mia bimba
nata da poco). Per quanto riguarda sopra posso dirti di piu`, visto
che sto scrivendo un articolo che parte da tali fatti
(ma si occupa di cercare di estendere la "geometria noncommutativa"
di A.Connes al caso Lorentziano). Il teorema che cito non credo
che tu lo abbia mai sentito perche`, anche se ovvio,
credo di averlo dimostrato io per la prima volta nell'articolo che
sto scrivendo (forse c'e' sul testo di sotto, ma ci sono talmente
tante cose e io non l'ho mai letto tutto).
I maggiori riferimenti sulla distanza Lorentziana li trovi sul
Beem - Eherlich- Easley: "Global Lorentzian Geometry" (second edition)
Marcel Dekker Inc., New York, 1996.

Prendi uno spaziotempo = varieta` M con metrica lorentziana
(-,+...,+) ed orientamento temporale. Presi due punti p,q in M,
definisci, se q e` nel futuro causale di p (cioe`: c`e' almeno una
curva causale futura da p a q)

d(p,q) = sup {L(h) | h curva causale futura da p a q}

d(p,q) = 0 altrimenti

L(h) e` la lunghezza di h (presa con il segno positivo).

Se p e` nel passato causale di q che e` nel passato causale di r, allora
vale la disuguaglianza triangolare inversa:

d(p,r) >= d(p,q) + d(q,r)


Si prova che d ha un mucchio di proprieta` molto notevoli in uno
spaziotempo
che soddisfi qualche ipotesi cronologica/causale, in particolare se
lo spaziotempo e` globalmente iperbolico (che "mani e piedi" significa
che
esiste una ipersuperficie di tipo spazio che interseca una volta sola
tutte le
curve causali estese al massimo, in termini piu` fisici significa che
assegnando
dati di Cauchy su tale ipersuperficie prevedi l'evoluzione di qualunque
campo
descritto da un'equazione iperbolica, in tutto lo spaziotempo.
Minkowski,
Schwarzschild e quasi tutti gli spazitempo interessanti sono g.i. (non
le e`
Anti-deSitter pero`).) Per esempio, d e` finita e continua in ogni
spaziotempo
glob. iperb. e se tra p e q c`e` una curva la cui lunghezza coincide con
d(p,q)
allora la curva e` (riparametrizzabile in) una geodetica...

Tornando a d, nel caso generale, se x e y sono in un intorno
geodeticamente
convesso, allora si puo` provare che per y nel futuro causale di x

-(1/2)d(x,y)^2 = s(x,y)

s(x,y) e` la "world function" di Synge, definita come, in intorni
geod.convessi,

s(x,y) = (1/2)( (exp_x)^{-1}(y), (exp_x)^{-1}(y) )_x

Sopra con (X,Z)_x indico il prodotto scalare dei vettori X e Z nel punto
x.
La funzione esponenziale la conosci e non preciso altro.
In pratica s misura la distanza geodetica quadrata tra x e y, con il
segno
dovuto alla metrica lorentziana (+ per eventi spacelike e - per eventi
timelike
nella mia convenzione che e` opposta alla tua). Nota che c`e` solo una
geodetica
tra x e y. s(x,y) e` fondamentale in teoria dei campi quantistici in
spaziotempo
curvo.

Riducendosi a lavorare in coordinate normali attorno a x, puoi provare
facilmente
che se X e Y sono campi vettoriali definiti intorno a x allora, pensando
X_y e Y_y
come operatori differenziali che agiscono sulla variabile y:

lim_{y->x} X_y (Y_y (s(x,y))) = (X_x,Y_x)_x (1)

A secondo membro compare il prodotto scalare di X_x e Y_x per cui, dato
che X e Y
sono arbitrari, compare la metrica g_x. Il punto importante e` che il
limite per
y -> x lo possiamo fare per y nel futuro causale di x, per cui la (1)
la puoi
riscrivere

lim_{y->x} X_y (Y_y (-(1/2)d(x,y)^2)) = (X_x,Y_x)_x

Quindi la conoscenza di d(x,y) con y nel futuro causale di x,
determina la metrica in modo completo in x. Con un ragionamento analogo
provi
che determina anche l'orientamento temporale.

Se ti interessano maggiori dettagli ti mando il preprint quando e`
finito,
ma e` un paccazzo... come al solito.

Ciao, Valter
Received on Wed Dec 26 2001 - 13:49:35 CET