Re: Paradosso dei gemelli anche per le lunghezze?

From: valter moretti <moretti_at_alpha.science.unitn.it>
Date: Mon, 24 Dec 2001 15:11:25 +0100

"Elio Fabri" <fabri_at_df.unipi.it> ha scritto nel messaggio
news:3C2705DD.FA116A59_at_df.unipi.it...

> Anche qui, lasciami indicare con u il tempo proprio.
> Considera una curva arbitraria di tipo tempo: t = p(u), x = q(u).
> Naturalmente le due funzioni p, q soddisfano p'^2 - q'^2 = 1 (indico con
> ' la derivata rispetto a u).
> Considera ora la trasf. di coordinate definita da
> t = p(u) + s q'(u), x = q(u) + s p'(u).
> Qui (u,s) sono (quasi) coord. di Rindler generalizzate.
> Si vede che
> dt^2 - dx^2 = (1 + p''/q')^2 du^2 - ds^2.
> E' meglio usare, in luogo di u, r definita da dr = (p''/q') du. Allora
> dt^2 - dx^2 = (s + p'/q'')^2 dr^2 - ds^2. (Nota che p''/q' = q''/p'.)
>
> L'importante e' che ds^2 ha coeff. -1, quindi (r,s) definiscono un
> "riferimento rigido" in moto accelerato qualsiasi.
> Percio' posso usare s per misurare la distanza in generale.
>
> Che ne pensi?

Ciao, non mi hai fatto cambiare idea. Mi spiego meglio.
Di funzioni che generalizzano il concetto di distanza spaziale riferita
ad una particella che evolve lungo una curva spaziotemporale
(di tipo tempo) e un evento fuori di essa ne puoi definire infinite.
Si tratta di mostrare che e` possibile definire un fogliettamento locale
con ipersuperfici di tipo spazio, etichettatte dal tempo proprio della
curva,
che le intersechi tutte una sola volta ciascuna e perpendicolarmente a
ciascuna di esse. Ci sono infiniti modi di fare cio`. Scelto un
fogliettamento
locale come detto, la distanza spaziale tra la particella sulla curva ed
un evento e` quindi data dalla distanza tra l'intersezione della curva
e l'unica ipersuperficie che contiene l'evento, misurata su tale
ipersuperficie. Proprio perche`ci sono infiniti modi di fare cio` e`
difficile pensare che abbia qualche senso fisico una qualunque
di tale distanze (e per es. decidere che la corda si rompa perche`
in una di queste distanze e` superata la lunghezza critica mi pare
eccessivo).
Se il fogliettamento ha quelche significato interinseco, come nei
casi di Minkowski, Rindler, Schwarzschild, ecc.. in cui le ipersuperfici
sono normali ad un campo di Killing di tipo tempo della metrica,
allora le cose cambiano perche` il vettore di Killing stesso rientra nei
conti fisici (per esempio puoi definire l'energia in una di tali
ipersiperfici
contraendo il tensore energia impulso con la normale alla superfiicie
e questa quantita` si conserva nel tempo di Killing).


Ciao, Valter

PS. Aggiungo quanto segue anche se e` un po` lontano dal tema iniziale,
ma puo` essere interessante ugualmente perche` mostra come, in generale,
il concetto di distanza spaziale sia in generale molto piu` mal definibile
in teorie relativistiche di quanto si creda.
Si potrebbero pensare vie alternative per dare una nozione
intrinseca di distanza spaziale in assenza di campi di Killing e senza
fissare sitemi di riferimento : prendo due eventi in relazione spacelike
tra di essi e definisco la distanza come l'inf della lunghezza di tutte le
curve
di tipo spazio che connettono gli eventi. Purtroppo il risultato e`sempre
zero
per punti sufficientemente vicini, come puoi immaginare facilmente,
perche` posso approssimare le curve di tipo luce con curve spaziali.
Se gli eventi sono abbastanza vicini tanto da essere interni ad un intorno
geodeticamente convesso allora uno puo` definire la distanza come
la lunghezza dell'unico segmento di geodetica (che sara` spacelike) che
li connette... pero` questo funziona solo per eventi vicini e non soddisfa
il naturale requisito di minimo per il motivo detto sopra.

La cosa e` diversa per gli eventi connessi temporalmente;
in tal caso si ha una nozione intrinseca di distanza (temporale), il sup
delle lunghezze delle curve di tipo causale che li connettono. Si puo`
definire una funzione che misura distanze temporali tra eventi connessi
timelike. Tale funzione in realta` porta *tutte* le informazioni metriche e
causali dello spaziotempo: non ci possono essere due spazitempo con la
stessa varieta` ambiente e metriche o orientamento temporale diversi se
hanno la stessa funzione distanza temporale.
Received on Mon Dec 24 2001 - 15:11:25 CET