Ho riordinato un p� le idee. Allora, la metrica di G�del �
ds^2=(dx^0)^2+2*exp(a*x^1)*(dx^0)*(dx^2) - (dx^1)^2 +
(1/2)*exp(2*a*x^1)*(dx^2)^2-(dx^3)^2
Poi, ho *sbagliato* a scrivere le equazioni di E con il termine
cosmologico. Quelle giuste sono:
R_mu,nu + (lambda - (1/2)*R)*g_mu,nu = -(8*Pi*G/c^4)*T_mu,nu
Gli altri risultati sono giusti: si calcolano le componenti di ricci e la
curvatura R, arrivando ad un'equazione che lega lambda ad "a".
> > i rimanenti due vettori sono forse associati a qualche rotazione?
> Io direi traslazioni: nota che i tre vettori commutano.
Vedo. Cmq nel post precedente mi hai chiesto perch� mi pongo la questioni
sui killing. Beh, perch� in generale le eq. di Einstein sono non lineari,
quindi per risolverle ci appelliamo alle simmetrie del sistema.
> Tra parentesi, non basta la metrica per definire uno spazio-tempo.
> Bisogna precisare l'atlante che ricopre la varieta'.
> Qui sembrerebbe implicito che l'atlante consista di una sola carta, con
> le 4 coordinate che assumono tutti i valori reali. In altre parole,
> l'immagine della varieta' e' l'intero R^4. E' cosi'?
Penso proprio di s�. Detta molto rozzamente con un solo mapping di
coordinate x^mu ricopriamo tutta la variet� (spero di non aver detto un a
ka_at__at_ata:-))
> Anche questo e' necessario per decidere se si tratta di rotazioni o
> traslazioni. Una rotazione la vorrei associata a un angolo, quindi a una
> "periodicita'" nella corrispondente coordinata (detto da fisico:
> speriamo che Valter non legga :-)) ).
E qui sta il punto. Per dimostrare l'esistenza di una rotazione, Adler
confronta la metrica di G�del con quella corrispondente ad uno spazio in
rotazione; precisamente, una terna 0xyz in rotazione uniforme attorno
all'asse z. L'intervallo spazio-temporale in coordinate cilindriche
(r,phi,z) �:
ds^2= (1-(w^*r^2)/c^2)c^*dt^2 - dr^2 - r^2*(dphi)^2-(dz)^2 -
2*w*r^2*(dt)*(dphi)
A questo punto, Adler re-interpreta le coordinate x^mu in cui � scritta la
metrica di G�del, dicendo che x^1, x^2, x^3 non sono le coordinate
cartesiane, ma coordinate di tipo cilindrico. (Forse � per questo che i
rimanenti due vettori di Killing sono associati a rotazioni, piuttosto che a
traslazioni). Quindi dice che questa analogia suggerisce che l'universo di
G�del in qualche modo *ruota*.
Per dimostrare l'esistenza di una rotazione, Adler segue una strada molto
tortuosa che non mi sembra il caso di riportare qui. La cosa che non si
capisce � rispetto a *cosa* l'universo di G�del ruota. Cio�, posso
considerare un sistema e dire che questo ruota rispetto al resto
dell'universo. Ma quando prendo l'universo nel suo insieme, rispetto a cosa
osservo la rotazione? Adler se la cava invocando il principio di Mach, in un
modo non molto chiaro.
Per inciso, gli universi di G�del mi sembra che siano connessi a una qualche
versione di "many-worlds" (
http://www.hep.upenn.edu/~max/everett.html).
Ciao, Rob_jack
Received on Thu Nov 01 2001 - 17:50:23 CET