Salve a tutti,
m'e' capitato tra le mani un problema inaspettatamente ostico, inaspettatamente
perche'
inserito in una raccolta di problemi non dico facili ma accessibili a studenti
del primo
anno di universita'. Riporto il testo integralmente.
"La precessione del perielio della traiettoria di un pianeta e' stata derivata
dalla
relativita' generale. Tuttavia, anche la relativita' speciale predice un tale
effetto
a causa della dipendenza della massa inerziale dalla velocita'. Derivare la
formula per la precessione in relativita' speciale per un pianeta di un dato
momento angolare L, massa a riposo m, e energia E, che si muove nel campo
gravitazionale del Sole."
L'unico ragionamento che m'e' venuto in mente, ma sulla cui esattezza non
scommeterei una lira, dovrebbe essere il seguente (non so' se saro'
sufficientemente chiaro nell'esposizione) :
Sia w (assomiglia a un omega) la velocita' angolare del pianeta. Allora
se assumiamo piccole tutte le variazioni dovute ad effetti relativistici,
la variazione del periodo dT e' dovuta al fatto che partendo dal perielio
dopo un periodo non torniamo piu' nello stesso punto ma in un
punto vicino, essendoci spostati di un angolo mettiamo dO (che
e' cio' che chiede il problema, credo...). Per fare un angolo dO ci
impieghiamo dO/w, per cui, prima formula
dT=dO/w
cioe'
dO=2*pi*dw/w circa....
Ora per la 3 legge di Keplero w e' proporzionale a E^(3/2) e possiamo
sviluppare E in potenze di (v/c) tenendoici al primo ordine relativistico.
Dato che la variazione di E e' dovuta solo ad effetti relativistici (tutto
qui il problema) allora posso tenere solo l'ultima parte se calcolo dE,
cioe'
dE~3/8(v^4/c^2)
Per E vale anche E=GM/2R ovviamente, per cui infine
dO~dw/w~3/2dE/E~3/2*(3/8(v^4/c^2))/(GM/2R) ...
e dopo un po' di calcoli...
dO~GM/Rc^2 FINE
Ovviamente questa non e' una soluzione esatta. mi sono arrampicato
sugli specchi e non riesco nemmeno a capire bene che assunzioni
ho fatto (moto circolare del pianeta, rotazione del perielio...) ma
ripeto e' l'unica cosa sono riuscito a tirare fuori da questo problema.
Qualcuno sa darmi suggerimenti per la soluzione esatta?? E il
calcolo esatto usando la relativita' generale e' molto diverso
(numericamente intendo)??
Infine faccio osservare che il problema dava anche un suggerimento (?!)
" Il problema e' notevolmente semplificato se si usa il vettore di Lenz"
So del vettore di Lenz classico, ma ne esiste una controparte
relativistica?? E perche' il problema e' semplificato??
Grazie a chiunque voglia dare un suggerimento...
(perdonate la lunghezza del post)
Ari
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Received on Sat Oct 20 2001 - 07:03:44 CEST