Re: problema facile

From: Marco <marcogina_at_libero.it>
Date: Fri, 12 Oct 2001 22:34:07 GMT

Paolo Giglioli wrote:

> In un bidone contenente V_0 litri d'acqua viene versata ogni secondo una
> quantit� L di un liquido rosso perfettamente miscibile, poi viene tolta una
> stessa quantit� L del "liquido risultante" acqua + rosso (si mischiano
> istantaneamente). Qual � l'espressione analitica di una funzione che dia la
> "densit�" di liquido rosso nel recipiente - per densit� in questo caso
> intendo <litri rossi / litri totali> - in funzione del tempo, o in altri
> termini del numero di volte che viene compiuta l'operazione di versamento e
> svuotamento?
>
> Io l'ho risolto solo per ricorsione o con una sommatoria... si riesce a
> determinare una *funzione*?
>
> ciao
> Paolo

    Ciao,
vediamo se ti sembra giusto cos�: posta L la portata (costante) in litri al
secondo sia in entrata che in uscita e posta V_0 la quantit� iniziale in litri
di acqua nel bidone, si ha che la quantit� di liquido rosso presente ad un dato

istante t (dove t � espresso in secondi, e t=0 segna l'inizio del processo) nel

contenitore � data dalla quantit� di tale liquido immessa fino a quel momento
L*t meno la quantit� di liquido rosso uscita fino a quel momento data
dall'integrale fra 0 e t di L*r(t) in dt, dove r(t) indica il rapporto fra la
quantit� di liquido rosso presente all'istante t nel contenitore e V_0 (che �
costantemente il numero di litri totali). Quindi si pu� impostare l'equazione
integro-differenziale relativa alla funzione r(t) in questo modo: r(t) = (L*t -

L*(integrale fra 0 e t di r(t) in dt)) / V_0. Ovvero V_0 * r(t) = L*t -
L*(integrale fra 0 e t di r(t) in dt). Derivando il tutto rispetto al tempo:
V_0 * r'(t) = L - L*r(t) (dove r'(t) indica la derivata prima di r(t) rispetto
a t). Risolvendo l'omogenea, aggiungendo la soluzione particolare ( r(t) = 1) e

ponendo la condizione iniziale r(0) = 0 si ha (spero vivamente di non aver
sbagliato pena figura di m....): r(t) = 1 - #e^(-(L / V_0) * t) (dove #e indica

la base del logaritmo naturale e ^ l'elevamento a potenza).
    Fammi sapere se ti 'torna'!

Marco
Received on Sat Oct 13 2001 - 00:34:07 CEST