Ciao Antonello,
Antonello ha scritto:
.....taglio....
> Quale metodo? Potresti illustrarlo in breve?
Brevemente: facendo la teoria dei campi(e non solo) ad un loop ci si
scontra
col dover
calcolare delle quantita' che sono formalemente dei determinanti di
operatori
differenziali.
Si cerca allora una definizione di determinante che estenda quella
solita che
si da in dimensione finita.
Preso dunque l'operatore differenziale A, che supporro' autoaggiunto,
ellittico e del secondo
ordine, definiamo formalemente la Zeta Function(ZF) associata
all'operatore A
attraverso la serie
Z_A (s) := \sum (frac{mu}{a_n})^s.
(a_n sono gli autovalori dell'operaotore A e sto supponendo di avere a
che fare
con spettro puramente discreto; mu e' una costante con le stesse
dimensioni
di A che dobbeamo inserire a mano perche' dobbiamo avere nella parentesi
numeri
puri).
Se l'operatore ha autovalori nulli, escludiamoli "manualmente".
Prova a calcolare la derivata di questa serie e vedrai che e' legata al
prodotto
degli autovalori a_n(che nel caso finito dimensionale e' proprio il
determinante).
Dunque si puo' cercare una definizione di determinante in dimensione
infinita
cercando di dare senso alla ZF. Questo viene fatto attraverso
continuazioni
analitiche. Si dimostra che nelle ipotesi di sopra sull'operatore e se
si lavora
su una varieta' compatta senza bordo, tutto funziona, a patto di non
considerare
la teoria su una varieta' lorenziana, ma su una euclidea che le si
associa
continuando analiticamente il tempo ad una variabile immaginaria pura(e
dunque,
alla fine dei conti, bisognera' ricontinuare i risultati al tempo
reale).
In genere difatti si fanno i conti in una scatola e poi si manda il
volume dello
spazio tempo all'infinito.
Questa tecnica e' stata utilizzata per la prima volta in fisica da
Hawking nel
1977(non sono mica sicuro della data) nel contesto della teoria dei
campi su
spazio tempo curvo.
Se cerchi su un database questo suo lavoro, scoprirai che e' molto
citato e che
questa tecnica e' abbastanza usata.
...taglio...
> Mi sono spiegato male. Tu devi semplicemente calcolare un'integrale, no? Ora
> puoi calcolarlo come vuoi, rimanendo sul primo foglio......
Meno male! perfetto, ora ho capito cosa volevi dire.
> In questo campo ho lavorato su atomi a due e tre livelli interagenti col
> campo e.m., sul modello di Lee e poi sull'interazione tra elettrone e fonone
> nei cristalli.
bello! quasi quasi vado a guardare sulle referenze che mi hai dato.
Ciao e a presto
Vittorio
P.S.
se l'operatore non e' del secondo ordine qualcosa si puo' fare lo
stesso,
ma non ho idee chiare generali.
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Received on Sun Oct 07 2001 - 16:37:48 CEST