Vend ha scritto:
> Ovviamente ogni l'ananalogia � imperfetta. Ci� non significa che sia
> senza valore.
Per me la tua analogia nel caso che stiamo discutendo *e'* senza valore.
Ma vedo che la discussione e' inutile su questo terreno, per cui
provero' ad affrontarla in altro modo (v. dopo).
> Variet� differenziabile ti piace di pi�?
E che cosa avrebbe a che fare con uno "spazio astratto deformabile"?
Ma anche per questo, v. cio' che segue.
Riprendo il tuo esempio del silicone coi tubicini, ma lo trasformo in
un esempio matematico.
Supponiamo di avere un piano euclideo P con coordinate (x,y) dove e'
definita la metrica
ds^2 = dx^2 + dy^2. (1)
Consideriamo ora un secondo piano Q (o meglio, una seconda varieta'
2D, omeomorfa al piano R^2.
Su questa adottiamo coordinate (u,v).
Definiamo un'applicazione tra i due piani, definita da:
u = x
v = y + a*sin(x)
(a reale qualsiasi).
Osservo anzitutto che l'applicazione e' bigettiva: la sua inversa e'
x = u (2)
y = v - a*sin(u). (3)
Con questa applicazione le retta y = c di P (che sono geodetiche)
vanno nelle curve di equazione
v = c + a*sin(u)
nel piano Q.
Domando:
a) il piano Q e' euclideo?
b) queste curve sono geodetiche?
Sospetto che tu risponderesti:
a) che non lo e'
b) che sono geodetiche
perche' mi pare che la situazione somigli molto a quella del tuo
silicone coi tubicini.
In realta' la risposta giusta e' che non si puo' rispondere, se non si
precisa che metrica si adotta nel piano Q.
Le possibilita' sono infinite, ma due vengono naturali:
1) adottare anche nel piano (u,v) la metrica euclidea:
dw^2 = du^2 + dv^2.
2) adottare la metrica indotta dall'applicazione, che si ottiene cosi':
differenzio (2) e (3):
dx = du
dy = dv + a*cos(u)*du
e sostituisco in (1):
ds^2 = [1 + a^2 * cos^2(u)]*du^2 + 2*a*cos(u)*du*dv + dv^2.
Allora la risposta alla domanda b) diventa evidente: nel caso 1) non
sono geodetiche, visto che non sono rette in (u,v). Nel caso 2) invece
lo sono, visto che ho mappato anche la metrica.
Un altro modo (istruttivo) per vedere questa seconda risposta e' di
osservare che niente m'impedisce di usare anche in Q le
coordinate (x,y) (per questo ho fatto notare che l'applicazione e'
bigettiva). Infatti le coordinate sono solo un modo per "etichettare" i
punti della varieta', e la coppia (x,y) va bene quanto la (u,v).
Ma se uso queste coordinate la metrica rimane la stessa che nel piano
P, mentre le curve mantengono le equazioni y=c, quindi sono certamente
geodetiche.
Non ho ancora dato la risposta alla domanda a), che e' questa: in
entrambi i casi Q *e' euclideo*.
Nel caso 1) e' ovvio, vista la metrica dw^2.
Ma lo e' anche nel caso 2) dal momento che posso usare le coordinate
(x,y), nelle quali la metrica e' identica alla (1).
Visti questi due esempi, nasce il problema: quando accade che la
varieta' non e' euclidea, e come faccio ad accorgermene?
Prima risposta: non e' euclidea se e solo se non esiste una trasf. di
coordinate che porta alla metrica (1).
Nell'esempio la trasf. era ovvia, in quanto era data in partenza.
Ma se do la metrica e basta?
Questa e' la seconda risposta: certe volte con un po' di "fiuto" si
scova la trasf. di coordinate giusta. Ma se non ci si riesce, questo
non dimostra che non esista: e allora?
Ci possono essere altre strade. Per es. se si riesce a trovare due
geodetiche che si avvicinano o si allontanano (nel senso che ho
spiegato in un altro post) e' fatta: la varieta' *non e'* euclidea.
Esiste poi un criterio generale (cond. nec. e suff.) perche' la varieta'
sia euclidea: calcolare il tensore di Riemann e vedere se si annulla.
Purtroppo non e' un criterio di grande utilita' per due ragioni:
1) calcolare il tensore di Riemann non e' mai semplice, richiede un
po' di calcoli (ma oggi, con Mathematica, Derive, Maxima... questo non
e' un gran problema)
2) anche verificato che il tensore si annulla, cio' non fornisce la
trasf. di coordinate che porta alla forma euclidea della metrica.
Per finire: perche' ho sciorinato questa pappardella?
Perche' spero di aver dimostrato che sotto l'idea di "spazio euclideo"
ci sono concetti tutt'altro che intuitivi.
E che non ci sono scorciatoie facili, analogie utili.
Il meglio che si puo' fare (credo) e' quello che ho fatto nel mio post
del 26/9. E checche' ne pensi qualcuno, questo e' un approccio che
puo' benissimo essere proposto anche a livello liceale; non richiede
altro che conoscenze elementari, e porta a capire in modo *serio* che
cosa significa curvatura.
Chi abbia un interesse *onesto* a saperne di piu' puo' studiarsi
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/Q16
(perditempo astenersi).
--
Elio Fabri
Received on Sat Oct 02 2010 - 21:05:54 CEST