Re: Differenza tra conservazione della quantità di moto e conservazione dell'energia

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Mon, 4 Oct 2010 04:25:13 -0700 (PDT)

On 4 Ott, 11:57, Valter Moretti <vmoret..._at_hotmail.com> wrote:
> On Oct 4, 2:05�am, Tetis <lje..._at_yahoo.it> wrote:
>
> ...
>
> > non � possibile che un sistema abbia pi� simmetrie indipendenti
> > che coordinate indipendenti?
>
> Ciao, in realt� c'� un teorema che dice che il numero massimo di
> integrali primi indipendenti (in senso funzionale) non pu� superare il
> numero delle coordinate...

Delle coordinate canoniche, direi, ovvero la dimensione dello spazio
delle fasi, ma le coordinate configurazionali sono la met� delle
coordinate canoniche e si definisce un sistema:

a) completamente integrabile se il numero di costanti del moto
funzionalmente indipendenti � pari al numero delle coordinate
b) superintegrabile se il numero di integrali supera il numero di
coordinate configurazionali.

Se deve esserci moto le costanti del moto non possono essere uguali al
numero di coordinate canoniche.

Nel caso del moto coulombiano di una particella in un campo centrale
il numero di integrali indipendenti � esattamente pari alle coordinate
canoniche meno una. Ovvero ci sono cinque integrali indipendenti in
quanto E, \vec{L}, \vec{N}, che sono sette grandezze sono legate da
due relazioni funzionali.

> > Per esempio il vettore di Lenz che deriva dall'invarianza per
> > riscalamento non mi sembra che sia facilmente evidenziabile in schema
> > lagrangiano
>
> in realt� si dimostra che anche la costanza del vettore di Lenz viene
> fuori dal teorema di Noether

Appunto, ma la questione � proprio questa: possiamo esprimere la
lagrangiana evidenziano delle coordinate cicliche che evidenziono
tanto la costanza del momento angolare quanto del vettore di Lenz?


> (in forma lagrangiana o hamiltoniana, non importa quale)

e beh una differenza c'� per�: l'hamiltoniana � funzione delle
coordinate canoniche, la lagrangiana � funzione delle coordinate
configurazionali e delle loro derivate il teorema di Noether, nella
forma che conosco (Gelfand-Fomin, "Calculus of variations" Prentice-
Hall, chap. 4 sec. 20) lavora con trasformazioni che agiscono
sull'azione, sulle coordinate configurazionali (con trasformazioni che
per� possono dipendere anche dalle loro derivate) e sul tempo.

> ...Lo facevo a lezione prima dei tagli del "3+2". Forse c'� ancora
> sulle mie dispense...

Si pu� fare in due modi: scrivendo a mano l'effetto delle simmetrie
sulle coordinate configurazionali, ed applicando il teorema di Noether
nella forma suddetta, oppure riconoscendo l'invarianza per
riscalamento nello spazio, nel tempo e nell'impulso, della dinamica
con un procedimento introdotto da Sophus Lie e trattato in generalit�
da Arnold in teoria geometrica delle equazioni differenziali.

> Ciao, Valter
Received on Mon Oct 04 2010 - 13:25:13 CEST