Re: Differenza tra conservazione della quantità di moto e conservazione dell'energia

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Tue, 5 Oct 2010 17:09:28 -0700 (PDT)

On 4 Ott, 22:38, Valter Moretti <vmoret..._at_hotmail.com> wrote:
> On 4 Ott, 21:41, Elio Fabri <elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:
>
> > Oppure non ho capito di che cosa stavi parlando?
> > --
> > Elio Fabri
>
> Diciamo che sei un po' fuori strada. FLRW non c'entra �nulla. Stavamo
> parlando di meccanica di Hamilton elementare e le coordinate erano le
> 2n dello spazio delle fasi (anche se subito non ci siamo capiti cion
> Tetis)...
> Secondo me ora hai capito e conosci il teorema.
> Ciao, Valter

Per� mi sembra uno spunto interessante. Anche con riguardo alla
formulazione geometrica del teorema di Noether a cui forse pensavi
prima (H che genera il flusso hamiltoniano commuta con il generatore
di qualsiasi simmetria tanto di origine geometrica che di origine
dinamica, pi� in generale la derivata di Lie su una variet�
simplettica pu� essere espressa in modo da ridursi essenzialmente alla
parentesi di Poisson fra il generatore della derivata ed il generatore
del campo vettoriale, e quindi se una derivazione di Lie conserva
l'hamiltoniana (quindi il generatore commuta di Poisson con
l'hamiltoniana), ovvero � una simmetria, allora il generatore della
simmetria � costante sul flusso di fase dell'hamiltoniana, nel senso
che sul campo vettoriale associato alla simmetria la derivata di Lie
associata ad H � nulla, in tal modo ad ogni simmetria ad un parametro
corrisponde un invariante del moto).

Per quanto riguarda le simmetrie dello spazio tempo, ad esempio nel
caso della metrica di Minkowsky le simmetrie indipendenti non sono i
10 generatori del gruppo di Poincar� e per l'ordinario spazio tempo
newtoniano non sono 10 i generatori del gruppo di Galileo? (tuttavia
le tre rotazioni ed i tre boost non sono di per s� integrali in
involuzione, mentre gli invarianti di Casimir associati all'algebra,
per definizione sono in involuzione con tutte le simmetrie) e qualcosa
del genere non si verifica forse anche nel caso della metrica FLRW con
6 generatori anzich� 10? oppure nello spazio tempo di Einstein che ha
in pi� la simmetria per traslazioni temporali?

Ora una questione �: se ci sono 10 simmetrie dello spazio tempo
newtoniano, come mai ci sono al pi� 5 costanti del moto indipendenti
associate a questa hamiltoniana? Anzitutto notiamo che non tutte
queste simmetrie dello spazio tempo sono simmetrie della Lagrangiana,
lo sono le rotazioni, le traslazioni spaziali, la traslazione
temporale, ma non lo sono i boost che modificano l'integrale d'azione
(...). Dal teorema di Noether possiamo ricavare tramite la simmetria
per traslazioni la costanza dell'impulso del punto materiale, mediante
le rotazione la costanza del momento angolare, mediante la traslazione
temporale l'invarianza di H, una volta determinata l'invarianza di H
che nel nostro caso coincide con l'invarianza della lagrangiana,
notiamo che essa rappresenta un vincolo funzionale fra i tre impulsi e
quindi effettivamente le costanti del moto indipendenti sono
l'energia, le tre componenti del momento angolare (che fissano la
giacitura del moto rispetto all'origine delle coordinate) ed un angolo
(la direzione del moto nel piano di giacitura rispetto ad un asse
prestabilito in questo piano).

Torniamo adesso un momento alla questione dei boost, se essi
modificano l'integrale d'azione questo esclude forse la possibilit� di
costruire una teoria dei campi quantistica ma galileiana? C'�
evidentemente qualche ingrediente che fin qui ho trascurato, forse
l'azione pu� essere scritta in modo da risultare invariante di Lorentz
considerando delle variabili dinamiche ausiliarie (che mi giustifico
pensando al fatto che le variabili temporali e spaziali, a differenza
dal caso di Poincar� sono disaccoppiate), ad esempio se considero che
mE-p^2/2 = mE_0, � un invariante di Casimir del gruppo, riesco a
derivare un principio d'azione ragionevole? Un'idea � stata porre
l'hamiltoniana nella forma H = mE - p^2/2 e considerare E_0,p come
variabili canoniche coniugate a t e q. Ma per questa via non giungo a
nulla di ragionevole.

Infatti avrei voluto procedere in questo modo:
In questo schema il tempo � una variabile dinamica, mentre ho
introdotto un parametro ausiliario che chiamo parametro di gauge o
parametro conforme temporale perch� una sua ricalibrazione coerente
non cambia le curve orarie del sistema.

Le equazioni di Hamilton sono:

 t' = m
q' = - p

che per� combinate insieme conducono ad un primo comportamento
indesiderato: p = -m dq/dt !!!!

 Sorvolando su questo problema la funzione di Lagrange, che ottengo
dalla trasformata di Legendre, �:

m t' + pq' - mE + p^2/2 = t'^2-(q'^2) +t'E + q'^2/2 = t'^2 + t' E -
q'^2 / 2

anche se l'oggetto ottenuto � invariante per Boosts, risente di un
problema serissimo: contiene ancora la variabile impulsiva E inoltre
riapplicando la trasformata di Legendre non si ha un'involuzione
WARNING !!!! Questo succede perch� ovviamente il teorema di Legendre
non si applica dato che nella variabile E la nostra Hamiltoniana �
lineare e non convessa, quindi l'equazione canonica associata non
fissa il valore di E.

E voi, cosa ne pensate? C'� un modo ragionevole di costruire una
teoria dei campi invariante rispetto al gruppo galileiano?
Received on Wed Oct 06 2010 - 02:09:28 CEST