Re: Coordinate localmente inerziali

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: Thu, 06 Sep 2001 16:27:34 +0200

Rob_jack wrote:
>
>
> Il dubbio che mi assilla � questo: lo spazio tangente
> che viene automaticamente definito assegnando una qualunque
> variet� differenziabile, ha una qualche relazione con il sistema
> di coordinate localmente inerziale?
>
   Allora, puoi vedere la cosa come segue.

   (1) Quando hai una varieta` M hai *automaticamente*
   lo spazio tangente T_pM ad ogni suo punto p. I vettori
   tangenti a M applicati in p.
   
   (2) Domanda: c`e`qualche corrispondenza biunivoca
   e regolare tra i punti di M *attorno* a p ed i vettori
   tangenti ad M in p?
 
   Se la risposta fosse positiva, fissando una base
   dei vettori in p avrei costruito *anche* un sistema
   di coordinate su M intorno a p (in un intorno finito).


   NOTA: Sul Landau non si capisce niente di tutto cio'
   perche` "localmente" per lui vuol dire, a volte,
   in un intorno "infinitesimo" cioe` nello spazio
   tangente, altre volte invece in un intorno finito,
   cioe` su M.

   (3) Risposta: se la varieta` e` dotata di una connessione
   (quindi in particolare quella di Levi-Civita e` OK),
   allora la corrispondenza biunivoca suddetta esiste
   in un intorno sufficientemente piccolo (ma finito) di p.
   E quindi una base in T_pM determina un sistema di coordinate
   in un intorno finito di p su M.


   Tali coordinate si costruiscono, cosi`: si fissa una base
   vettoriale in T_pM, quindi assegnato un vettore V in T_p,
   cioe` n numeri reali (se n = dim M), si lancia l'*unica*
   geodetica che esce da p (dove il parametro affine vale 0),
   con vettore tangente in p dato da V.
   Si guarda il punto q(v) in cui arriva la geodetica su M quando
   il parametro affine vale 1. Questo crea una corrispondenza
   tra v e un punto q(v) vicino a p.
   Si scopre che tale corrispondenza e` biunivoca e regolare purche`
   si lavori in un intorno del vettore nullo sufficientemente piccolo
   in T_pM. Le componenti di v rispetto alla base detta sono dunque
   *anche* coordinate di punti *sulla varieta'*.


   (4) Queste coordinate hanno il regalo che la parte simmetrica
   dei coefficienti di connessione *esattamente* in p si annulla.
   Se la connessione e` senza torsione, significa che i coefficienti
   si annullano completamente in p. Se la connessione e` quella di
   Levi-Civita significa che anche le derivate della metrica si
annullano
   in p.

   (5) In ogni caso le geodetiche che escono da p, nelle coordinate
   dette (fino a quando la geodetica non esce dall'intorno
   *finito* considerto) sono descritte da equazioni lineari.
   
   (6) Se la varieta` e` lo spaziotempo, significa che i moti dei corpi
   in caduta libera che partono dall'evento p, *nelle coordinate dette*
   sono letti come moti rettilinei uniformi: questa e` la traduzione
   geometrica del principio di equivalenza.

   Dimmi se ora e` chiaro. (E dai fuoco al Landau ;-)))

   Ciao, Valter

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 Valter Moretti
 Dipartimento di Matematica- Universita' di Trento
 moretti_at_science.unitn.it
 http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Thu Sep 06 2001 - 16:27:34 CEST

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