Rob_jack wrote:
>
>
> Il dubbio che mi assilla � questo: lo spazio tangente
> che viene automaticamente definito assegnando una qualunque
> variet� differenziabile, ha una qualche relazione con il sistema
> di coordinate localmente inerziale?
>
Allora, puoi vedere la cosa come segue.
(1) Quando hai una varieta` M hai *automaticamente*
lo spazio tangente T_pM ad ogni suo punto p. I vettori
tangenti a M applicati in p.
(2) Domanda: c`e`qualche corrispondenza biunivoca
e regolare tra i punti di M *attorno* a p ed i vettori
tangenti ad M in p?
Se la risposta fosse positiva, fissando una base
dei vettori in p avrei costruito *anche* un sistema
di coordinate su M intorno a p (in un intorno finito).
NOTA: Sul Landau non si capisce niente di tutto cio'
perche` "localmente" per lui vuol dire, a volte,
in un intorno "infinitesimo" cioe` nello spazio
tangente, altre volte invece in un intorno finito,
cioe` su M.
(3) Risposta: se la varieta` e` dotata di una connessione
(quindi in particolare quella di Levi-Civita e` OK),
allora la corrispondenza biunivoca suddetta esiste
in un intorno sufficientemente piccolo (ma finito) di p.
E quindi una base in T_pM determina un sistema di coordinate
in un intorno finito di p su M.
Tali coordinate si costruiscono, cosi`: si fissa una base
vettoriale in T_pM, quindi assegnato un vettore V in T_p,
cioe` n numeri reali (se n = dim M), si lancia l'*unica*
geodetica che esce da p (dove il parametro affine vale 0),
con vettore tangente in p dato da V.
Si guarda il punto q(v) in cui arriva la geodetica su M quando
il parametro affine vale 1. Questo crea una corrispondenza
tra v e un punto q(v) vicino a p.
Si scopre che tale corrispondenza e` biunivoca e regolare purche`
si lavori in un intorno del vettore nullo sufficientemente piccolo
in T_pM. Le componenti di v rispetto alla base detta sono dunque
*anche* coordinate di punti *sulla varieta'*.
(4) Queste coordinate hanno il regalo che la parte simmetrica
dei coefficienti di connessione *esattamente* in p si annulla.
Se la connessione e` senza torsione, significa che i coefficienti
si annullano completamente in p. Se la connessione e` quella di
Levi-Civita significa che anche le derivate della metrica si
annullano
in p.
(5) In ogni caso le geodetiche che escono da p, nelle coordinate
dette (fino a quando la geodetica non esce dall'intorno
*finito* considerto) sono descritte da equazioni lineari.
(6) Se la varieta` e` lo spaziotempo, significa che i moti dei corpi
in caduta libera che partono dall'evento p, *nelle coordinate dette*
sono letti come moti rettilinei uniformi: questa e` la traduzione
geometrica del principio di equivalenza.
Dimmi se ora e` chiaro. (E dai fuoco al Landau ;-)))
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica- Universita' di Trento
moretti_at_science.unitn.it
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Thu Sep 06 2001 - 16:27:34 CEST