On 5 Ott, 21:23, Elio Fabri <elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:
> Tetis ha scritto:> ...
> > Per esempio il vettore di Lenz che deriva dall'invarianza per
> > riscalamento
>
> Questa cosa mi riesce nuova. Me la spiegheresti?
Avevo scritto una risposta parziale ma vedo che tarda ad arrivare,
riassumendo ti dicevo che non avrei saputo spiegare questo risultato
perch� prima avrei dovuto studiarlo ed ancora prima avrei dovuto
riconsiderare alcuni argomenti che avevo studiato e che servono in
merito. Pensavo che studiare la procedura di derivazione, per l'idea
che mi ero fatto dalle fonti secondarie, mi avrebbe richiesto di
studiare varie cose, in pratica so che il metodo di riduzione delle
equazioni differenziali ordinarie, note le simmetrie � un metodo
standard ed io stesso l'ho applicato in qualche semplice caso per
trovare degli invarianti rispetto a cui riscrivere le equazioni
differenziali, e che il metodo risale a Sophus Lie, mentre di quello
che ho detto sopra so che la scoperta risale agli anni settanta/
ottanta e per� che non � semplice, mi ero limitato ad alcuni
argomenti generali su cui mi sarei basato per tentare di comprendere
il metodo. Un'idea intuitiva � che nota l'esistenza di un generatore
che commuta con il flusso hamiltoniano, nel senso che applica curve
integrali in curve integrali, nel nostro caso il lift di: t d_t + (2/3)
(x d_x + y d_y + z d_z) [rispetto a cui le equazioni di Newton sono
invarianti] allo spazio delle fasi implica l'esistenza di una costante
del moto che � costante anche rispetto alla stessa simmetria. Ora
trovare una costante rispetto alla simmetria significa risolvere
un'equazione differenziale alle derivate parziali che pu� essere pi�
semplice della soluzione delle equazioni di Hamilton, e che si riduce
a risolvere un'equazione alle caratteristiche. Ma nel nostro caso in
pi� questa grandezza deve essere costante rispetto al flusso di
Hamilton quindi deve anche verificare l'equazione differenziale alle
derivate parziali:
[(dH/dpx)\partial_x - (dH/dx)\partial_px] + ...
Ora, intuitivamente questa situazione mi aveva ricordato le condizioni
di compatibilit� di Frobenius, ma stavo decisamente facendo confusione
con la generalizzazione di Arnold del teorema di Noether, quella che
dice che se la funzione di Hamilton H � costante sul gruppo ad un
parametro generato dalla funzione di Hamilton F allora F � un
integrale primo del sistema dinamico di hamiltoniana H, infatti nel
nostro caso dobbiamo dimostrare che la simmetria, che coinvolge anche
il tempo � generata da una funzione F che sar� l'integrale primo del
sistema. In pratica non conoscendo l'articolo originale e conoscendone
solo il risultato ero finito ad arrampicarmi sugli specchi. Tutto
quello che serve per studiare il risultato, non certo per capirne la
sostanza, � il metodo di Lie ed una buona dose di pazienza e qualche
nozione elementare sulle rappresentazioni differenziali dei campi
vettoriali in generale.
Infatti nel frattempo ho potuto studiare direttamente la fonte che ha
trattato per la prima volta la derivazione del vettore di Lenz dalle
simmetrie di riscalamento delle equazioni del moto.
L'articolo in cui la derivazione fu effettuata per la prima volta
risale alla fine degli anni settante ed � questo:
http://iopscience.iop.org/0305-4470/14/3/009
e servirebbe l'abbonamento, tuttavia siccome � un articolo importante
si trova anche nel database Nasa e di tanto in tanto, se si �
fortunati, passando attraverso il sito della Nasa, anche se non so
come avvenga, si riesce a scavalcare la barriera di licenza dell'IOP,
ieri sera ho avuto questa fortuna e quindi ho potuto leggere
l'articolo se tu avessi difficolt� a reperirlo (ma spero che la
rivista sia reperibile tramite l'Universit�) posso inviartene una
copia.
La derivazione che si trova non � molto lineare n� affatto semplice da
riassumere, n� del tutto trasparente (stando ai miei limiti di
comprendonio), l'ideale sarebbe quindi se riuscissi anche tu a
procurarti l'articolo.
Essenzialmente loro fanno questo: in primo luogo impongono la
condizione di invarianza noetheriana pi� generale in forma di
trasformazioni che non dipendono esplicitamente dalle derivate prime e
trovano due membri per questo tipo di simmetria: le traslazioni
temporali e le rotazioni (ma ovviamente non trovano la simmetria
noetheriana che genera il momento perch� quella dipende esplicitamente
dalle derivate prime). In secondo luogo vanno a cercare le simmetrie
di lie del sistema di equazioni, ovvero i generatori del gruppo di
monodromia delle equazioni di Keplero e trovano oltre alle due
simmetrie gi� dette anche la simmetria per cambiamento di scala che
codifica la legge di Keplero numero tre. La ricerca degli invarianti
del moto procede a questo punto come segue: nel caso di simmetrie
noetheriane si applica il teorema di noether e finisce l�. Nel caso di
simmetrie pi� generali cercano gli invarianti della simmetria
(risolvendo con il metodo delle caratteristiche l'equazione
differenziali del primo ordine a derivate parziali) e gli invarianti
del prolungamento di primo ordine, che coinvolgono le derivate prime,
(il prolungamento della simmetria in questione al primo ordine di
derivazione: t d_t + 2/3x dx + 2/3 y dy + 2/3 z dz si scrive t d_t
+ 2/3x dx + 2/3 y dy + 2/3 z dz - 1/3 x' d_x' -1/3 y' d_y' - 1/3 z'
d_z' il fattore -1/3 si spiega perch� ovviamente se scaliamo il tempo
linearmente di un fattore k e le lunghezze di un fattore k^(2/3) le
velocit� x' ,y' , z' scalano di un fattore k^(-1/3) ed analogamente
possiamo scrivere il prolungamento al secondo ordine che rialza
l'azione della simmetria fino allo spazio bitangente dello spazio
delle configurazioni, dove vivono le equazioni di Newton che sono di
secondo ordine) una volta fatto il lavoro sporco lungo e cattivo di
esprimere le derivate prime degli invarianti di U' che coinvolgono le
derivate di secondo ordine rispetto al tempo, in modo invariante
rispetto alla simmetria U'' si trovano appunto delle equazioni che
contengono delle derivate seconde delle tre coordinate, ed esprimono
il flusso di fase della simmetria nello spazio delle fasi del sistema,
siccome queste equazioni differenziali sono del primo ordine negli
invarianti, ma i differenziali degli invarianti contengono le derivate
seconde delle tre coordinate, si possono usare le equazioni del moto
(che sono anche loro invarianti rispetto ad U'' che � il prolungamento
della simmetria e quindi non conducono fuori dalle ipersuperfici di
livello, ovvero come direbbero altri sono invarianti rispetto al lift
allo spazio bi-tangente TT della simmetria) in questo modo il flusso
di fase pu� essere esplicitato in termini degli invarianti trovati
prima, cio� gli invarianti nello spazio delle configurazioni che sono
conservati dal flusso t d_t + 2/3x dx + 2/3 y dy + 2/3 z dz abbassando
di fatto il problema della loro ricerca da un problema nel bitangente
ad un problema nel tangente. Queste tre equazioni si risolvono
esplicitamente e conducono ad un vincolo fra i quattro invarianti di t
d_t + 2/3x dx + 2/3 y dy + 2/3 z dz. Alla fine di questo lungo e
delicatissimo lavoro si ritrovano in mano le componenti del vettore di
Lenz.
Tendo a pensare che tutta questa lunga procedura possa essere
semplificata in qualche modo usando i prodotti wedge fra il flusso di
fase hamiltoniano ed il flusso di fase delle simmetrie, e riadattando
le condizioni di compatibilit� di Frobenius data l'esistenza della bi-
forma simplettica, ma al momento rimane solo un sospetto del resto non
� detto che questa procedura, ammesso che sia possibile semplifichi di
molto i problemi differenziali da andare a risolvere, ma magari
renderebbe pi� trasparente la loro interpretazione geometrica che al
tempo di Lie passava in subordine rispetto alla formulazione analitica
dei problemi. Spero almeno, in questo rispetto di guadagnarne in
comprensione.
Received on Sun Oct 10 2010 - 03:37:21 CEST