Avevamo discusso su it.scienza.matematica
dell'esistenza di coordinate localmente inerziali
che esistono per un tempo finito attorno ad
un osservatore in caduta libera (e non solo
per un istante). Ho deciso di postare anche
la dimostrazione che ho fatto perche` magari
puo` servire anche a qualche
studente... (inoltre la cosa rimane sull'archivio
di deja e se qualcuno ripone la stessa domanda
basta invitarlo a rileggersi 'sto paccazzo).
Premessa
La funzione exp e` definita come segue:
fisso un evento dello spaziotempo p. Prendo
un vettore nello spazio tangente a p, V,
q= exp_p(V) e` il punto vicino a p che e` connesso
a p con l'unica geodetica che parte da p e finisce
in q (quando il parametro in cui e` descritta vale s=1)
ed ha vettore tangente in p (s=0) dato proprio da V.
Se v_0,...,v_3 e` una base nello spazio tangente
T_pM, la funzione
(x^0,...,x^3) |-> exp_p( x^mu v_mu)
(somma su mu da 0 a 3) definisce un sistema
di coordinate locali attorno a p dette coordinate
normali Riemanniane in p. La particolarita` e` che
in tali coordinate ed esattamente in p si annllano
tutti i coefficienti di connssione o che e` lo stesso
le derivate prime del tensore metrico si annullano
in p. In queste coordinate le geodetiche che
escono da p sono funzioni lineari e cio` traduce
in termini matematici il principio di equivalenza
di Einstein: ci sono sistemi di coordinate in cui
le geodetiche temporali appaiono (almeno in modo
approssimato in un intorno sufficientemente piccolo)
come moti rettilinei uniformi. Tali sistemi
sono detti localmente inerziali.
Elio mi faceva notare che in realta` secondo Einstein
tali coordinate si devono poter trovare nonn solo
attorno ad un evento, ma lungo l'evoluzione di
un osservatore in caduta libera in un campo
gravitazionale. Questo punto non e` mai ben
spiegato sui libri, ma significa che divrebbro
esistere, per una fissata geodetica di tipo tempo,
delle coordinate costruite attorno ad una porzione
di curva (piu` di un evento solo), in cui i simboli
di connessione si annllano lungo la geodetica.
Ecco la dimostrazione che mi ero fatto qualche
anno fa e che questa mattina mi sono rifatto
per esercizio.
*Dimostrazione che per una data geodetica temporale
e fissato un evento su di essa, esistono coordinate
definite nell'intorno di tale evento in cui i simboli
di conenssione sono nulli su tutti i punti della
porzione di geodetica passante per l'intorno*
Fissiamo una geodetica di tipo tempo
z=z(t), t tempo proprio, z coordinate arbitrarie nello
spaziotempo. A t=0 mettiamo una base di vettori di
tipo spazio normali alla geodetica e_1 e_2 e_3
e trasportiamoli parallelamente lungo la curva.
(Posso anche usare il trasporto di Fermi-Walker,
sulle geodetiche coincide xcon quello parallelo)
Poi consideriamo la funzione
(t,x^1,x^2,x^3) -> exp_{z(t)} (x^i e_i)
Lascio da verificare, dalle proprieta` di exp che il
differenziale nel punto t = x^1 = x^2 = x^3 =0
di tale mappa e` non nullo, per cui si ha un
diffeomorfismo locale intorno al punto
e i paramtri t, x^1,x^2,x^3 sono coordinate
ammissibili in tale intorno.
Mostro che, in tali coordinate, i coefficienti della
connessione di Levi-Civita si annullano esattamente
sulla geodetica temporale considerata. In tal modo
tali coordinate definiscono un riferimento inerziale
locale in caduta libera (non solo nell'intorno di
un evento ma per un tempo finito).
I coefficienti di connessione li indico con
G^mu_{nu tau}. usero' pero' lettere latine per
gli indici da 1 a 3 e t oppure 0 per l'indice
temporale.
le derivate parziali le indico con _at_, cosi'
il vettore tangente alla curva e` _at_/_at_t.
Nelle coordinate t,x^i la geodetica e` semplicemente
x^i =0 e t=s con s parametro affine.
Ancora, dato che il trasporto parallelo e` isometrico,
avrai *per ogni t* dato che cio` vale a t=0
g_{00} = -1, g_{0i} = 0, g_{ij} = delta_{ij}
Infatti le componenti della metrica di sopra non sono
altro che il prodotto scalare (T,T) e (T,e_i), (e_i,e_j)
lungo la curva, dove T = _at_/_at_t e` il versore tangente
e gli e_i sono quelli trasportati da tampo nullo.
Ora fissiamo un t e consideriamo una geodetica che esce
dalla curva tangente a V^i e_i in quel punto. Dalle
proprieta` di exp devi avere che tale geodetica ha
equazione : x^i = V^i e t=0.
Scrivendo l'equazione geodetica si ha subito che
G^i_{jk}=0, G^0_{ik}=0, per s=0 cioe` in tutti
i punti della geodetica temporale iniziale.
Facendo la stessa cosa per la stessa geodetica temporale
di partenza si ottiene che G^{0}_{00}=0 lungo tutta
la curva.
Rimangono da considerare G^i_{00} proporzionale a
_at_g_{00}/_at_x^i e G^i_{0j} e` proporzionale a
_at_g_{0i}/_at_x^j + @g_{0j}/_at_x^i
Questo e` il punto difficile. Ti mostro che i
coefficienti di connessione in questione sono nulli
sulla curva.
Partiamo da G^i_{0j}.
_at_g_{0i}/_at_x^j = @/_at_x^i < @/_at_t, @/_at_x^j >
= D_i < _at_/_at_t, @/_at_x^j >
dove D_i e` la derivata covariante rispetto
a x^im e <,> indica il prodotto scalare.
D_i < _at_/_at_t, @/_at_x^j > = <D_i @/_at_t, @/_at_x^j>
+ <_at_/_at_t, D_i @/_at_x^j>
Il secondo addendo e` nullo perche`
D_i _at_/_at_x^j = 0 per l'equazione delle
geodetiche.
Dato che la connessione ha torsione nulla
D_i _at_/_at_t = D_t @/_at_x^i + [@/_at_x^i, @/_at_t]
Il commutatore e` pero` nullo perche` i vettori
sono tangenti alle coordinate (la base e` olonoma)
Quindi D_i _at_/_at_t = D_t @/_at_x^i e
_at_g_{0i}/_at_x^j = <D_t @/_at_x^i, @/_at_x^j>
In definitiva
G^i_{0j} e` proporzionale a
<D_t _at_/_at_x^i, @/_at_x^j> + <D_t @/_at_x^j, @/_at_x^i>
= _at_/_at_t g_{ij} = 0
perche' g_{ij} = delta_{ij}
lungo la geodetica come detto sopra.
Similmente troviamo che
G^i_{00} e` proporzionale a
<D_j _at_/@_t, @/_at_t>
ragionando come sopra questo vale
<D_t _at_/_at_x^j, @/_at_t> +
<_at_/_at_x^j, D_t @/_at_t>
il secondo addendo l'ho aggiunto perche`
e` nullo (perche` la curva e` geodetica
temporale) e lo posso fare.
Quindi G^i_{00} e` proporzionale a
_at_/_at_t g_{0j} =0 perche' g_{0j}=0
sulla geodetica temporale come visto
sopra.
In definitiva TUTTI i coefficienti
di connessione sono nulli lungo la
geodetica temporale considerata.
NOTA. In certi testi si trova scritto
es. Landau, che e` possibile annullare
i coefficienti di connessione lungo una
curva qualsiasi (non geodetica), pero`
non ho mai letto la dimostrazione e secondo
me e` FALSO (dal punto di vista fisico
significherebbe che puoi mettere un sistema
loc.inerziale attorno ad un *qualsiasi*
osservatore anche NON in caduta libera!)
Se qualcuno si vuole cimentare...
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica- Universita' di Trento
moretti_at_science.unitn.it
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Thu Aug 30 2001 - 14:34:03 CEST