Re: Fisica Matematica

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: Wed, 22 Aug 2001 12:44:37 +0200

Giovanni -Darth Vader- Neiman wrote:

> Dal punto di vista matematico la divergenza di un campo uguaglia la
> densita' di sorgente (per il noto teorema della divergenza->teorema di
> Gauss).


Ciao, non e` vero in generale. Se il campo rappresenta un vettore di
corrente di una grandezza scalare che soddisfa una legge di
conservazione
e (nel caso stazionario) e` presente un pozzo o una sorgente di quella
grandezza allora e` vero quello che dici. Altrimenti non e` detto
che sia vero.

> La divergenza infatti indica in quel punto se il campo DIVERGE
> (CONVERGE) o no. Considerato il campo delle velocita' di un fluido,
> c'e' una divergenza (convergenza) nei pressi di un rubinetto e nei
> pressi di un tappo aperto.
>

Questo e` vero nel caso di sopra, ma non in generale.
Non esiste un'unica interpretazione *fisica* degli operatori
differenziali considerati, bisogna vedere il contesto
in cui ci si trova. La divergenza *di un campo di velocita`*
misura la rapidita` di variazione di un volume di particelle
di fluido che ammettono quel campo di velocita` come velocita`
delle loro traiettorie.

Se prendi un insieme di particelle di volume V_t al tempo t
e vuoi sapere, inseguendo le particelle, come varieta` dopo
un intervallo (infinitesimo) h di tempo se il campo di velocita`
e` U, hai la formula:

V_(t+h) = V_t(1 + h div U) + O(h^2)

> Il flusso del rotore e' uguale alla circuitazione (lavoro...) per il
> teorema di Stokes.
> Il rotore (rotazione) indica in quel punto se il campo RUOTA.

Mica vero, prendi un fluido con campo di velocita` dato da

V_x =y

V_y =0

V_z =0

il rotore non e` nullo eppure le linee integrali del campo sono
tutte parallele all'asse x! Ti pare che il fluido ruoti? Non direi.
Forse volevi dire un'altra cosa: se metti un piccolo mulinello
in quel fluido allora il mulinello ruota, questo e` vero, ma
non e` detto che ruoti il fluido!


> Se il campo ruota logicamente non e' conservativo,

Ma cosa intendi per conservativo qui?
Voglio dire, se parliamo di un campo di forze OK, e`
chiaro: significa che il lavoro fatto dal campo su un
percorso chiuso e` nullo. Se il campo e` di velocita`
non significa niente, almeno in quell'accezione di
"conservativo". Forse vuoi dire che se il campo (di
velocita` o meno) ha rotore nullo, allora si puo`
scrivere *localmente* come gradiente di un campo
scalare. Ma questo e` un altro discorso.

Ciao, Valter
Received on Wed Aug 22 2001 - 12:44:37 CEST