Re: Le variabili canoniche in meccanica classica (ex: Ancora sul Tempo in meccanica quantistica)

From: Elio Fabri <fabri_at_df.unipi.it>
Date: Fri, 10 Aug 2001 10:46:31 +0200

Se posso intervenire, la questione che state discutendo e' interessante
anche perche' mostra un difetto didattico: questa roba di solito viene
insegnata o da matematici, in modo rigoroso ma astruso, o da fisici, in
modo "semplice" ma pasticciato.
Credo di aver gia' scritto, forse un anno fa o piu', che quando ho letto
l'Arnold mi sono detto: "bellissimo; ora occorrerebbe tradurlo in un
linguaggio leggibile per un fisico".

Ovviamente Valter ha ragione: le due var. coniugate sono E e k; a k si
puo' dare un'espressione piu' semplice:
k = (1/omega) arctg(omega q / p).
Una volta scritta questa trasf. canonica, dato che H=E, le eq. di
Hamilton per E, k sono:
dE/dt=0, dk/dt=1.
La seconda fornisce k=t+c, ma sarebbe sbagliato concluderne che k *e'*
il tempo...

Mi pare che i concetti si chiariscono se si esprimono in modo
geometrico.
Abbiamo lo spazio delle fasi, che per un sistema a un grado di liberta'
e' il piano R^2, dotato di una particolare struttura (simplettica,
anziche' metrica). Su questo piano possiamo definire infiniti sistemi di
coordinate, tra le quali sono privilegiate quelle canoniche, nelle quali
la struttura simplettica assume una forma semplice (come capite per la
struttura euclidea in coord. cartesiane).
Una trasf. canonica non e' che il passaggio da un sistema di coord.
canoniche (q,p) a un altro (Q,P).
Si puo' scegliere ad arbitrio una delle due coordinate; l'altra risulta
determinata (all'incirca) dalla condizione {Q,P}=1.

Tutto questo precede la specificazione della dinamica, ossia la scelta
della hamiltoniana H (o equiv. di un particolare flusso di fase).
Il flusso hamiltoniano ha le sue curve integrali, parametrizzate dal
parametro t (che non e' quindi una coordinata).
In particolare, si puo' scegliere Q=H; esiste il momento coniugato P, e
se ne guardiamo il valore *su una curva integrale* troviamo che coincide
con t, a meno di una costante additiva. Ma e' ovvio che non avrebbe
senso dire che P=t, o che t e' il momento coniugato a H.

Passando all'aspetto quantistico, avrei due commenti.

1. Il momento coniugato all'energia non esiste, ma non solo perche'
l'en. ha uno spettro limitato inferiormente: anche perche' (per l'osc.
armonico) ha autovalori discreti.
Infatti e' facile dimostrare che se A,B sono autoaggiunti e soddisfano
la rel. di Weyl il loro spettro e' l'intera retta reale.

2. Su tutto questo non ci piove, ma vorrei capire di piu'. Dato che in
un qualche senso la m. classica e' caso limite della m. quantistica, mi
domando se non si potrebbe trovare un op. che approssimi in qualche
senso l'energia (per es. per grandi numeri quantici) e che abbia un
momento coniugato. Per quanto ho detto, dovrebbe avere spettro continuo,
ma non so dire niente di piu'
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
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Received on Fri Aug 10 2001 - 10:46:31 CEST

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