domanda sul teorema di Helmoltz (?)

From: Marco Beleggia <beleggia_at_df.unibo.it>
Date: Tue, 24 Jul 2001 12:22:32 +0200

Avrei una questione da chiarire, e spero che qualcuno di voi
mi dia una mano.

Non sono sicuro che si chiami "di Helmoltz", ma esiste
comunque un teorema che ci assicura che conoscendo
divergenza e rotore di un vettore, il vettore stesso e'
univocamente determinato.

Formalmente:

Se:
Rot(v)=c
Div(v)=s
con s e c noti
Allora:
v e' univocamente determinato.

Questo teorema e' di indubbia utilita' in elettromagnetismo,
poiche' ci permette di risalire ai campi partendo dalla loro
circuitazione (c) e sorgente (s).

Il mio dubbio pero' e' questo (siamo in elettromagnetismo classico):

supponiamo che il vettore v corrisponda al potenziale
vettore A.
Come e' ben noto, scegliendo un Gauge opportuno (ad esempio
Div(A)=0), possiamo calcolare il potenziale vettore
corrispondente a un campo magnetico assegnato (infatti
Rot(A)=B). Tuttavia, per l'invarianza di Gauge, possiamo
sempre scegliere una funzione arbitraria, ed aggiungere il
suo gradiente ad A mantenendo invariato il campo magnetico
(e se scegliamo una funzione che soddisfa l'equazione di
Laplace, ci manteniamo pure nel Gauge scelto Div(A)=0).

Ne consegue che il "teorema di Helmoltz" andrebbe
completato, specificando che l'univocita' raggiunta e' "a
meno di un gradiente"?

Questa sarebbe la soluzione piu' semplice, tuttavia
l'obiezione principale che si puo' fare e':
ma allora, se e' cosi', perche' se applichiamo il teorema in
un secondo caso, con v = B (campo magnetico), s = 0 (campo
magnetico solenoidale) e c = J (densita' di corrente),
ovvero se vogliamo calcolare il campo magnetico generato da
una distribuzione di correnti note, l'univocita' e'
assicurata, infatti in genere i problemi sono ben posti e risolubili?

Grazie per l'aiuto,
Ciao
Marco
Received on Tue Jul 24 2001 - 12:22:32 CEST