Re: domanda sul teorema di Helmoltz (?)

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: Tue, 24 Jul 2001 14:45:22 +0200

Caro Marco: bella domanda.
Sono tornato dalle vacanze ed ho pochissimo tempo per
rispondere.


> Rot(v)=c
> Div(v)=s
> con s e c noti
> Allora:
> v e' univocamente determinato.

E` gia` chiaro che se v soddisfa le identita` di sopra
e se consideri v'= v + costante, v' soddisfa le identita'
di sopra comunque! Per cui le due sole condizioni date
non sono in grado di determinare univocamente v.
Perche` sussista un teorema di unicita' devi pensare di risolvere
il sistema di sopra in una regione connessa A, assegnando anche
condizioni al contorno (supposto regolare) di A (se A e` infinita,
devi assegnare condizioni all'infinito).
Supponiamo dunque di sapere che esista un v tale che, oltre a
risolvere le due equazioni di sopra risolva anche v=u sul bordo
di A, dove u e` una funzione nota definita sul bordo di A.
Piu' debolmente per il discorso che fai e` suffiente fissare la
componente normale al bordo di A di v, se N e` il versore normale
al bordo di A e (,) e` il prodotto scalare, assumeremo che

(v,N) = g

dove g e` una funzione definita sul bordo di A.
Se ora aggiungiamo non solo una costante, ma come giustamente
osservi tu, il gradiente di un campo scalare a v
v' = v + grad f
v' soddisfa ancora le equazioni di sopra, purche` su A
Lf = 0
dove L e` il laplaciano = div grad
Se vogliamo che anche v' soddisfi le condizioni al contorno
v'=u ul bordo di A, risultera' che

(grad f, N) = 0 sul bordo di A

Quindi gli f ammissibili soddisfano Lf =0 in A unitamente
a (grad f, N) = 0 sul bordo di A
Questo e` un problema di Neumann che, se f e` C^2 in A e
C^1 fino al bordo di A incluso, ammette una sola soluzione
a meno di costani additive. Una soluzione per f che soddisfa
le condizioni e` f=0, questa e` dunque unica a meno costanti
additive e cio' significa che SE ESISTE v che soddisfa
SIA le due equazioni SIA la condizione al bordo, esso
non puo' essere modificato aggiungendoci gradienti.

Allora uno potrebbe chiedersi se non si possa modificare
v in altro modo producendo un v' che soddisfa sia le
equazioni che le condizioni al bordo.
Se ci fosse un altro v' che soddisfa le stesse equazioni,
dovra` essere che V = v-v' soddifa div V=0 e rot V=0.
Inoltre (V,N)= g-g=0 sul bordo di A.
Allora, da rot V=0, se A e` semplicemente connesso, segue
V = grad f su A, mentre div V=0 implica ancora Lf = 0.
Ma valendo a anche (grad f, N)=0 sul bordo e
ragionando come sopra troviamo che f e` costante e V e` nullo
in A, ossia v=v'.
Se A non e` semplicemente connesso, mi pare che bisogna faticare
un po' di piu' perche' f suddetta esiste solo nell'intorno di ogni
punto di A, ma non su tutto A in generale...
(in ogni caso assumendo V di classe C^2 si vede subito che
l'esistenza locale di f implica che le singole componenti di V,
V_1,V_2,V_3, soddisfano LV_k = 0. Se fissiamo
come condizione al bordo v = u nota sul bordo di A, ci si riconduce
ad un problema di Dirichelet per ogni componente e risulta V=0
nuovamente... forse c'e' una via piu' economica, non ho tempo
di pensarci ora). I ragionamenti si adattano anche a regioni illimitate,
ma e`un piu` complicato....

Il succo del discorso e` chiaro: le due equazioni ammettono un UNICO v
(se esiste!) se fissi *anche* delle condizioni al contorno.

Dimostrare invece che ESISTE v soddisfacente tutto quanto detto
e` tutto un altro paio di maniche (se si lavora nello spazio infinito
e` abbastanza facile provarlo passando in trasformata di Fourier
assumendo opportune condizioni di decrescenza rapida all'infinito di v).

A questo punto puoi risponderti da solo per le "applicazioni"
del tuo dubbio ai problemi di fisica che citi: considera che in fisica
insieme alle equazioni ci sono sempre le condizioni al contorno...

Ciao, Valter
Received on Tue Jul 24 2001 - 14:45:22 CEST