Re: domanda sul teorema di Helmoltz (?)

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: Thu, 26 Jul 2001 17:16:16 +0200

Marco Beleggia wrote:

> Sto
> parlando in sostanza dell'effetto Aharonov-Bohm (non
> descrivibile in termini di campo magnetico, ma solo tramite
> il potenziale vettore), che e' alla radice anche del quesito
> originale sul teorema di Helmoltz.
>

Si mi ricordo dell'effetto Aharonov-Bohm, me ne sono un po` occupato
una decina di anni fa quando stavo per laurearmi in fisica: un
mio amico ci stava facendo la tesi sopra ed aveva letto quasi
tutta la letteratura esistente sull'argomento. Tuttavia mi fece
vedere che non esisteva alcun articolo conclusivo sulla faccenda:
in definitiva, non era chiaro per niente se fosse davvero vero,
come sostenevano i due autori che il potenziale magnetico ha
rilevanza a livello quantistico, ogni articolo che dimostrava una tesi
era confutato da uno che dimostrava la tesi opposta.
Le questioni erano pero` molto molto sottili e cavillose ed in
definitiva tutto si basava su "cattive definizioni" che i due
schieramenti reinterpretavano a loro piacimento, ma basandosi su
distinzioni molto sottili ogni volta. Non saprei come sia finita
la storia...

In ogni caso io mi riferivo, nella mia risposta ad effetti
completamente classici, dove il potenziale magnetico non e`
direttamente osservabile e vorrei rimanere su tale piano per non
incasinare il discorso.

M> Supponi di avere una equazione che descrive il tuo campo
M> magnetico, mettiamo F(B)=0 (puoi pensarla come equazione di
M> Laplace Lapl(B)=0, di Poisson Lapl(B)-s=0, o qualche altra,
M> a seconda del problema fisico che stiamo affrontando).

Per esempio puoi pensare al caso di una corrente di volume che e`
confinata in un volume finito e s di sopra e` proprozionale al rotore
di tale corrente.


M> Da
M> questa equazione, si puo' ricavare una seconda equazione per
M> il potenziale vettore, che sara' F(Rot(A))=G(A)=0
 
Mettiamoci la sorgente confinata:

G(a) = s


M> Ora, un campo magnetico unico e' determinato dalla soluzione
M> della F(B)=0 con le opportune condizioni al contorno. Fin
M> qui tutto bene.


Per esempio puoi pensare che B si annulli all'infinito. Questo
determina B completamente.


 
M> Se esamino l'equazione G(A)=0, mi accorgo che in realta'
M> questa non e' unica, ma e' una delle infinite equazioni
M> derivabili da F(B)=0, ciascuna che differisce dall'altra per
M> un gradiente arbitrario. In sostanza, pare che da F(B)=0 si
M> possa derivare una classe di equazioni, piuttosto che
M> un'equazione unica, perche' G(A) oppure G(A+Grad(f))
M> soddisfano ancora F(B)=s (mi rendo conto di non esprimermi
M> in maniera rigorosa, ma spero tu possa seguirmi).
 
Stai semplicemente dicendo che se A soddisfa G(A)=s allora
anche A + grad f la soddisfa con f arbitraria. Vero. Ma c'e'
di peggio.

L'equazione e` L(rot A) = s

dove L e` il laplaciano.
Questa equazione NON determina A NEMMENO se fissi condizioni
al contorno sulle componenti di A di Dirichlet o Neumann :
puo` al massimo determinare rot A e sei sempre libero di variare
A per un gradiente graf f purche` grad f soddisfi condizioni
di D. o N. nulle all'infinito. Ma cio' non determina ne` f
ne` grad f !

M> Il risultato di cio', e' che io posso ottenere due diversi
M> potenziali vettori, uno che mi deriva dalla soluzione
M> diretta di G(A)=s,
 
Non c'e` una soluzione unica di tale equazione, ogni soluzione
puo` essere cambiata aggiungendo un gradiente come detto sopra,
questo anche se hai fissato condizioni al contorno, come appena
detto. Immagino che tu stia dicendo che hai infinite soluzioni
di tale equazione, non una.

M> e un secondo che mi deriva
M> dall'applicazione del teorema di Helmoltz (ovvero trovo B, e
M> ricavo A invertendo il sistema Rot(A)=B e Div(A)=0). In
M> genere, scelgo sempre delle condizioni di annullamento della
M> soluzione all'infinito, visto che il dominio, seppur diviso
M> in sottospazi (materiale magnetico e vuoto), non e' limitato.

Annullamento di A? Allora qui trovi una soluzione sola.


M> Come mi aspetto, i due potenziali vettori differiscono per
M> un gradiente (dovendo dare lo stesso campo magnetico), ma
M> quello calcolato dalla G(A)=0 soddisfa ovviamente
M> l'equazione stessa, mentre il secondo, calcolato dal campo
M> B, soddisfa una G(A+grad f)=0.
>

Si e` cosi`!

M> Ora, a me pare che in un qualche modo questa sia una
M> violazione del teorema di unicita' che mi hai mostrato


Capisco quello che vuoi dire. Tu stai dicendo: partiamo dalle stesse
equazioni fisiche + definizione matematica ottenendo il sisitema
in A (J e` noto)

(1) div B = 0
(2) rot B = J
(3) B = rot A
(4) condizioni al contorno su A.
 
Quello che ti stupisce e` che ci sono due modi per maneggiare
il sistema + le condizioni, e i due modi portano a risultati
diversi ANCHE se imponiamo le stesse condizioni al contorno
per A: un metodo determina un unico A e l'altro NO!
E` cosi` ?

Vediamo, un metodo e` il teroema di Helmoltz: questo prende il
sistema e` butta fuori una soluzione che e` unica se c'e' qui
funziona tutto e basta.

Il secondo metodo in realta` e` una carente dal punto di vista
logico ma funziona perche` sacrifica solo cose non fisiche.
Si procede cosi`.

Prendo la (2) e gli applico il rotore ad ambo membri. Ricordando
che rot rot = grad div - L, usando (1), trovo che se B soddisfa
(1) e (2) allora soddisfa anche L(B)= rot J

(5) L(B) = rot J
(6) condizioni al contorno su A


Quindi se A risolve (1)-(4) => risolve (5)(6). OK
Il punto centrale e` che pero` il viceversa e'
FALSO. E` la stessa cosa per cui se a = b => a^2 = b^2 ma non e`
vero il viceversa.

La perdita di informazioni al passare da un sistema all'altro
e` pero' fisicamente irrilevante perche` le informazioni che perdo
non alterano B, ma solo A.
 
Dal punto di vista di B, non si perdono informazioni passando dalle
equazioni (1)(2) e (3) aL(B) = rot J con debite condizioni
al contorno su B questa volta.
Si potrebbe pensare che mentre in (1)-(4) B tenga conto di tutto
J, in (5)(6) solo rot J appare. Ma e` falso: facendo la divergenza in
(2) si ha che div J = 0. Al solito div J e rot J determinano J
[con condizioni al contorno] per cui tutto cio' che serve di J
e` gia' in rot J.


Ciao, Valter
Received on Thu Jul 26 2001 - 17:16:16 CEST