Re: domanda sul teorema di Helmoltz (?)

From: Marco Beleggia <beleggia_at_df.unibo.it>
Date: Thu, 26 Jul 2001 14:45:57 +0200

Valter Moretti wrote:

> Quindi NON ha senso fisico ottenere un potenziale vettore
> univocamente determinato: quello che ha senso fisico e` ottenere un
> campo magnetico univocamente determinato.

Grazie delle ulteriori delucidazioni. Quest'ultima frase mi
lascia tuttavia un po' perplesso, perche' in effetti il
campo magnetico non e' l'unica grandezza fisica che si puo'
derivare dal potenziale vettore, e non necessariamente il
"senso fisico" si dovrebbe associare al campo magnetico. Sto
parlando in sostanza dell'effetto Aharonov-Bohm (non
descrivibile in termini di campo magnetico, ma solo tramite
il potenziale vettore), che e' alla radice anche del quesito
originale sul teorema di Helmoltz.

Se tu, o qualcun'altro a cui interessa l'argomento, avete
ancora voglia e tempo di provare ad aiutarmi, proverei a
proporre un'altro quesito, piu' generale, che si ricollega
comunque al discorso.

Supponi di avere una equazione che descrive il tuo campo
magnetico, mettiamo F(B)=0 (puoi pensarla come equazione di
Laplace Lapl(B)=0, di Poisson Lapl(B)-s=0, o qualche altra,
a seconda del problema fisico che stiamo affrontando). Da
questa equazione, si puo' ricavare una seconda equazione per
il potenziale vettore, che sara' F(Rot(A))=G(A)=0

Ora, un campo magnetico unico e' determinato dalla soluzione
della F(B)=0 con le opportune condizioni al contorno. Fin
qui tutto bene.

Se esamino l'equazione G(A)=0, mi accorgo che in realta'
questa non e' unica, ma e' una delle infinite equazioni
derivabili da F(B)=0, ciascuna che differisce dall'altra per
un gradiente arbitrario. In sostanza, pare che da F(B)=0 si
possa derivare una classe di equazioni, piuttosto che
un'equazione unica, perche' G(A) oppure G(A+Grad(f))
soddisfano ancora F(B)=0 (mi rendo conto di non esprimermi
in maniera rigorosa, ma spero tu possa seguirmi).

Il risultato di cio', e' che io posso ottenere due diversi
potenziali vettori, uno che mi deriva dalla soluzione
diretta di G(A)=0, e un secondo che mi deriva
dall'applicazione del teorema di Helmoltz (ovvero trovo B, e
ricavo A invertendo il sistema Rot(A)=B e Div(A)=0). In
genere, scelgo sempre delle condizioni di annullamento della
soluzione all'infinito, visto che il dominio, seppur diviso
in sottospazi (materiale magnetico e vuoto), non e' limitato.

Come mi aspetto, i due potenziali vettori differiscono per
un gradiente (dovendo dare lo stesso campo magnetico), ma
quello calcolato dalla G(A)=0 soddisfa ovviamente
l'equazione stessa, mentre il secondo, calcolato dal campo
B, soddisfa una G(A+grad f)=0.

Ora, a me pare che in un qualche modo questa sia una
violazione del teorema di unicita' che mi hai mostrato, e
sinceramente non mi sembra nemmeno una cosa negativa,
perche' mi salvaguarda la possibilita' di cambiare il Gauge.

Capisco che senza un esempio concreto sia difficile seguire
il discorso, ma ci terrei a sviscerarlo ancora un po', prima
di ritornare sui libri e sui calcoli.


Spero in un qualche commento,
Ciao e grazie
Marco
Received on Thu Jul 26 2001 - 14:45:57 CEST