Re: Nuntio vobis gaudium magnum!

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Sun, 06 Jan 2013 21:24:15 +0100

Scrivevo:
> Il dubbio era originato dal fatto che secondo il Landau (vol. 2,
> formula (71.5) dell'edizione inglese) la risposta sembrerebbe
> affermativa, mentre secondo il Jackson, che tratta il problema molto
> pi� a fondo, si direbbe il contrario.
Ora credo di aver ricostruito l'origjne dell'errore nel Landau.
Mi piacerebbe che qualcuno controllasse, e perci� riassumo qui sotto
il ragionamento di LL, come l'ho capito.

Siamo nel Cap. 9, e la formula rilevante � la (66.2), che d� il
potenziale vettore in funzione della densit� di corrente.
Essenziale che nell'integrale la densit� di corrente j va calcolata a
tempi ritardati, che naturalmente variano da punto a punto nel dominio
d'integrazione.
Nel �67 si fa il calcolo in appr. di dipolo, e con questo LL intendono
che la differenza fra i ritardi sia del tutto trascurabile, cosa
valida al imite ka --> 0, o in altre parole valida all'ordine pi� basso
in ka.
Gi� qui c'� da notare che Jackson intende il contributo di dipolo
elettrico in modo diverso: come il termine l=1 in uno sviluppo in
armoniche sferiche.
Le due cose coincidono solo parzialmente, perch� il multipolo di
ordine l d� campi che vanno come (ka)^l, e quindi il termine di ordine
pi� basso si ottiene per l=1; per� l=1 produce anche termini che vanno
con potenze dispari superiori di ka; cosa alla quale LL non fanno alcun
cenno, amzi sembrano ignorare...

Il vero problema nasce per� al �71, dove si trova l'espressione dei
campi all'ordine successivo (formule (71.4)).
Queste in s� sono giuste, ma i guai spuntano subito dopo, quando LL
usano quelle espressioni per calcolare l'energia irraggiata, integrata
su tutto l'angolo solido.
Dalla (66.6) si ha che l'intensit� in una data direzione � prop. a H^2,
quindi occorre mediare H^2 su tutte le direzioni. LL scrivono:
"In averaging the square of the magnetic field, all cross-products of
the three terms in H vanish, so that remain only the mean squares of
the three."
E da qui ottengono la (71.5) incriminata...

Dov'� l'errore? Basta osservare che nella (71.4) per H compaiono il
termine di dipolo elettrico, che va come ka, e poi quadrupolo
elettrico e dipolo magnetico che vanno come (ka)^2.
Nella (71.5) l'energia irraggiata contiene un primo termine che va come
(ka)^2 e i due successivi che vanno come (ka)^4.
Ma se vogliamo l'energia fino al quarto ordine, dobbiamo prendere i
campi fino al terzo, perch� quadrando il doppio prodotto tra primo
ordine e terzo ordine si ha un quarto ordine *che non si annulla*.
Infatti il contributo al terzo ordine nei campi viene anche dal dipolo
elettrico (inteso come l=1) che *non � ortogonale* a quello di primo
ordine.
Bisognava quindi prolungare lo sviluppo (71.3) e quindi (71.4) con un
ulteriore termine...

Che ne dite?
           

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Elio Fabri
Received on Sun Jan 06 2013 - 21:24:15 CET