Alberto Rasà ha scritto:
> Domanda: è possibile fare in modo che, dopo un transitorio di durata
> limitata nel tempo, anche le estremità si muovano alla stessa
> velocità angolare w del motore ma con velocità tangenziale v vicina
> a c? In tal caso, vale sempre v = w*R?
Comincerei dalla coda.
Non vedo perché no. v = w*r è una relazione cinematica, non ha niente
che vedere con la relatività.
Bruno Cocciaro ha scritto:
> ...
> Bene, nell'ipotesi che il post di Rasà sottintenda domande del
> genere, le sue domande a mio avviso hanno senso. Il punto è che, per
> come ho capito io, nessuno ne conosce le risposte. La questione è
> stata più volte affronta su isf.
Cavolo, sai che non mi ricordo niente?
Comunque povo a scriver che cosa ho pensato ora, spernado che non sia
in contraddizione con quanto avevo scritto in paasato :-)
Supponiamo che la risposta alla prima domanda sia affermativa e per di
più (ipotesi pesante) che la sbarra si mantenga rettilinea o si
incurvi molto poco, e che neppre si allunghi o si accorci
apprezzabilmente.
Proviamo a calcolare in queste ipotesi la tensione nella sbarra.
Un trattino dr si muove di moto circolare uniforme, con velocità ang. w,
accelerazione w^2*r.
La forza richiesta è
dT = -dM*w^2*r*g (g sta per gamma)
con dM = L*dr e L densità lineare.
(Ho supposto di poter trascurare l'allungaomento della sbarra.)
Dunque, posto
x = w^2*r^2/c^2,
b = w^2*l^2/c^2
(l = lunghezza della semisbarra):
T(r) = -L*w^2*int_r^a dr*r*g = -(L*c^2/2)*int_x^1 dy/sqrt(1 - y) =
L*c^2*[sqrt(1-x) - sqrt(1 -b)] =
L*c^2*[sqrt(1 - 1/g(r)) - sqrt(1 - 1/g(l))]
Il max di T si ha al centro:
T(0) = L*c^2*[1 - 1/g(l)].
tau = T(0)/s = rho*c^2*(1 - 1/g)
(tau tensione, rho densità, s sezione della sbarra).
Verifichiamo se tau supera il carico di rottura K.
Per l'acciaio K può arrivare a 1.2*10^9 N/m^2, E (modulo di Young)
arriva fino a 2*10^11 N/m^2, rho = 8000 kg/m^3.
tau/K = (rho*c^2*(1 - 1/g)/K
Poniamo g = 2:
tau/K = 8000*9*10^16/2.4*10^9 = 72*10^10/2.4 = 3*10^11.
Salvo errori, si avrebbe tau = K per v = 2 km/s (v velocità
dell'estremo).
Si può verificare che il risultato tau >> K ha ragioni fondamentali.
Supponiamo infatti che la sbarra sia un monocristallo: passo
reticolare p, sezione quadrata di lato a, semilunghezza l.
Possiamo dare una stima del carico di rottura assumendo che in una
sezione ci siano tanti legami atomici quanti sono gli atomi: (a/p)^2:
Sia poi e l'energia di un legame.
Il carico di rottura è dato dal max gradiente dell'energia di legame
moltiplicato per il numero di atomi per unità di area della sezione.
Stimo il gradiente come e/p, quindi
K = (e/p)*(a/p)^2/a^2 = e/p^3.
Con e = 5eV, p = 0.2 nm avremo
K = 8*10^(-19)/(8*10^(-30)) = 10^11 N/m^2
osiia circa 100 volte quello dell'acciaio.
Lo sforzo max sarà (a parte qualche costante)
tau = M*v^2*g/(a^2*l) = M*(a/p)^2*(l/p)*v^2*g/(a^2*l) = M*v^2*g/p^3.
In realtà questo è lo sforzo nel rif. del lab., mentre K è nel rif. di
quiete della sbarra.
Per passare tau al rif. di quiete occorre ricordare che tau è stato
calcolato come forza centripeta, ossia trasversale rispetto alla
velocità.
Dato che g*F è invariante, avremo
g(lab)*tau(lab) = g(sb)*tau(sb)
Dove (lab) signfica calcolato nel rif. del lab, (sb) calcolato nel
rif. tangente al punto considerato della sbarra. Qiomdo g8sb) è sempre
1.
tau(sb) = g(lab)*tau(lab) = M*v^2/p^3
K/tau(sb) = e/(m*v^2) = [e/(m*c^2)]/(v^2/c^2).
e/mc^2 è dell'ordine di 10^(-9), quindi per avere K > tau(sb) v^2/c^2
non può superare 10^(-9) in un caso ideale.
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Elio Fabri
Received on Sat Apr 02 2022 - 11:21:30 CEST