In realtà il Gravitation parla di "geodesic motion" o di "geodesic equation of motion" mentre il Rindler parla di "geodesic law of motion". In nessun caso si parla di "geodesic principle". E' poi vero che Einstein e Infeld dimostrarono che il moto geodetico si può ottenere dalle equazioni di Einstein, ma questo è un caso particolare. In realtà, come conseguenza del principio di equivalenza, il moto geodetico è una caratteristica di tutte le teorie metriche della gravitazione (non solo della relatività generale), ossia, di quelle teorie metriche ad alto ordine che tentano di estendere la relatività generale (teorie scalar-tensoriali o teorie con azioni che modificano l'azione standard di Einstein-Hilbert, che è funzione lineare dello scalare di Ricci, con azioni che sono funzioni non-lineari dello scalare di Ricci) o di quella che storicamente precedette la relatività generale, ossia la teoria metrica scalare di Nordstrom (1914) che non è però consistente con le osservazioni. Per teorie m
etriche intendo che rispettano il principio di equivalenza intermedio, o di Einstein. Per definire le teorie metriche non basta infatti il principio di equivalenza debole e non è necessario quello forte (le uniche teorie conosciute che rispettano quest'ultimo sono proprio la relatività generale e la teoria scalare di Nordstrom). Quindi, se scriviamo "principio di equivalenza e principio della geodetica" lasciamo intendere che stiamo parlando di due cose indipendenti, mentre in realtà utilizziamo una terminologia ridondante, perché il moto geodetico, o legge del moto geodetico, è un corollario del principio di equivalenza. Seguendo il libro di Weinberg, ecco la dimostrazione di quest'ultima affermazione:
Supponiamo di non avere particelle che stanno accelerando nelle vicinanze di un evento arbitrario rispetto ad un sistema di riferimento in caduta libera che chiamiamo X^{\mu}. Ponendo T=X^{0}, possiamo scrivere la seguente equazione, localmente applicabile in caduta libera:
\frac{d^{2}X^{\mu}}{dT^{2}}=0 (1).
Utilizzando la regola della catena abbiamo subito
\frac{dX^{\mu}}{dT}=\frac{dx^{\nu}}{dT}\frac{\partial X^{\mu}}{\partial x^{\nu}}. (2)
Derivando la (2) rispetto a T si ha
\frac{d^{2}X^{\mu}}{dT^{2}}=\frac{d^{2}x^{\nu}}{dT^{2}}\frac{\partial X^{\mu}}{\partial x^{\nu}}+\frac{dx^{\nu}}{dT}\frac{dx^{\alpha}}{dT}\frac{\partial^{2}X^{\mu}}{\partial x^{\nu}\partial x^{\alpha}}. (3)
Ora, combinando a (1) con la (3) otteniamo
\frac{d^{2}x^{\nu}}{dT^{2}}\frac{\partial X^{\mu}}{\partial x^{\nu}}=-\frac{dx^{\nu}}{dT}\frac{dx^{\alpha}}{dT}\frac{\partial^{2}X^{\mu}}{\partial x^{\nu}\partial x^{\alpha}}. (4)
Se ora moltiplichiamo ambo i membri della (4) per \partial x^{\lambda} otteniamo
\frac{d^{2}x^{\lambda}}{dT^{2}}=-\frac{dx^{\nu}}{dT}\frac{dx^{\alpha}}{dT}\left[\frac{\partial^{2}X^{\mu}}{\partial x^{\nu}\partial x^{\alpha}}\frac{\partial x^{\lambda}}{\partial X^{\mu}}\right]. (5)
Ponendo t=x^{0} ed usando ancora la regola della catena possiamo eliminare T e scrivere in termini della coordinata temporale t
\frac{d^{2}x^{\lambda}}{dt^{2}}=-\frac{dx^{\nu}}{dt}\frac{dx^{\alpha}}{dt}\left[\frac{\partial^{2}X^{\mu}}{\partial x^{\nu}\partial x^{\alpha}}\frac{\partial x^{\lambda}}{\partial X^{\mu}}\right]+\frac{dx^{\nu}}{dt}\frac{dx^{\alpha}}{dt}\frac{dx^{\lambda}}{dt}\left[\frac{\partial^{2}X^{\mu}}{\partial x^{\nu}\partial x^{\alpha}}\frac{\partial x^{0}}{\partial X^{\mu}}\right]. (6)
Poiché i termini dentro le parentesi quadre che riguardano le relazioni tra le coordinate locali X^{\mu} e quelle generali x^{\mu} sono funzioni delle coordinate generali, utilizziamo la coordinata temporale t come parametro, otteniamo subito l'equazione del moto geodetico
\frac{d^{2}x^{\lambda}}{dt^{2}}=-\Gamma_{\nu\alpha}^{\lambda}\frac{dx^{\nu}}{dt}\frac{dx^{\alpha}}{dt}+\Gamma_{\nu\alpha}^{0}\frac{dx^{\nu}}{dt}\frac{dx^{\alpha}}{dt}\frac{dx^{\lambda}}{dt}, (7)
che è equivalente all'equazione standard del moto geodetico in termini del parametro s
\frac{d^{2}x^{\lambda}}{ds^{2}}=-\Gamma_{\nu\alpha}^{\lambda}\frac{dx^{\nu}}{ds}\frac{dx^{\alpha}}{ds}. (8)
On Wednesday, 13 April 2022 at 11:15:03 UTC+2, Elio Fabri wrote:
> Christian Corda ha scritto:
> > In realtà non esiste nessun "principio della geodetica". Il moto
> > geodetico è un corollario ed una diretta conseguenza del principio di
> > equivalenza, cosa per altro parecchio intuitiva.
> Sull'intuitivo, ognuno può avere le sue opinioni.
> Certamente il PG non l'ho inventato io :-)
> Senza questo nome, si trova enunciato e usato in "Il significato della
> relatività" di Einstein.
> Credo non esista testo di RG che non ne parli, più o meno
> approfonditamente.
> Nel mio Q16 si può leggere, a pag. 245, in una pagina riassuntiva:
>
> "Le linee orarie dei corpi in moto naturale sono geodetiche dello
> spazio-tempo}."
> Questo, che si chiama il "principio della geodetica", l'ho trattato un
> po' troppo di sfuggita: meritava una discussione più accurata.
>
> In realt\`a nel Q16 di PG si parla assai poco.
> Ne avevo trattato più diffusamente in una versione precedente:
> "Per un insegnamento moderno dela relatività",
> di cui ho messo in rete (per ora) solo alcuni capitoli:
> http://www.sagredo.eu/Ins-mod-rel/Ins-mod-rel-19.pdf
>
> Nelle mie lezioni di "Introduzione alla relatività generale", al
> cap. 2
> http://www.sagredo.eu/irg02.pdf
> si legge:
> "Passando a uno spazio-tempo curvo, occorre trovare la naturale
> generalizzazione di una retta dello spazio-tempo piatto: Einstein
> postula che si tratti di una geodetica, come già detto. E' questo il
> 'principio della geodetica' (PG). Nella formulazione iniziale della RG
> il PG appare come un postulato indipendente; solo anni dopo Einstein e
> Infeld dimostrano che lo si pu\`o dedurre dalle equazioni di Einstein.
>
> "Gravitation" dedica alcune pagine, a partire da pag. 476, a una
> deduzione del PG, che non mi sembra di poter ritenere rigorosa.
>
> Rindler in "Essential relativity" parla del PG in più punti. A pag.
> 283 si legge:
> "A most interesting property of Einstein's field equations is that
> they, by themselves, imply the geodesic law of motion, which had been
> originally introduced as a separate axiom. [...] The general proof is
> long and difficult; suffice to say that it has been given (in a
> series of papers by Einstein and collaborators beginning in 1927),
> though perhaps still not with sufficient rigour to satisfy the
> mathematicians.
>
> I due libri sono dal 1972 e del 1977, quindi è possibile che in
> seguito siano state date dimostrazioni più rigorose. Ma in ogni caso
> non ritengo che siano alla portata di Luca, come minimo perché
> presuppongono la conoscenza delle eq. di Einstein.
> --
> Elio Fabri
Received on Wed Apr 13 2022 - 15:41:14 CEST