>>>>> EF == Elio Fabri [2001-6-1]
EF> Questo *e'* semplicistico, e consiglio vivamente Gil-Galad a
EF> dimenticare quanto sopra...
Concordo con il Prof. Fabri sulla maggiore semplicit� concettuale della
relativit� generale quando si tratta di spiegare la gravitazione (come
dice Wheeler, � la teoria newtoniana ad essere complicata, almeno a
livello concettuale, se non computazionale, dovendo introdurre la
�misteriosa� forza di gravit� di cui la RG non ha nessun bisogno; se ci
sembra il contrario, � solo per questioni di abitudine).
Mi limito solo ad aggiungere qualche riga su cosa � una geodetica,
perch� quando io ero in quinta liceo non mi sembra lo sapessimo e forse
Gil-Galad effettivamente non lo sa: parlo a lui, anche se tecnicamente
questo messaggio � in risposta a quello del Prof. Fabri.
Comincio con un esempio �metrico�: se tu dovessi andare in aereo
(ignorando completamente le correnti atmosferiche) da Roma ad Anchorage
(Alaska), che rotta ti converrebbe fare per fare prima, consumare meno
carburante e pagare meno il biglietto? Se guardi un mappamondo, vedrai
che ti converrebbe puntare a Nord, verso Berlino, sorvolare la Norvegia,
sorvolare il polo, e attraversare tutta l'Alaska da Nord a Sud. In
altre parole, la geodetica che collega i due punti della superficie
terrestre �Roma� ed �Anchorage� passa sul punto �Polo Nord�.
Ora faccio un esempio �affine�: se tu partissi in aereo (sempre
ignorando completamente i venti) da Roma puntando verso Berlino e
continuassi a volare senza mai virare, che traiettoria seguiresti?
Senza sorprese, la stessa di prima, sempre la geodetica che collega Roma
ad Anchorage passando sul polo Nord.
Se, pi� ingenuamente, invece del mappamondo tu avessi preso una carta
piana (una proiezione) e tu avessi cercato la distanza pi� breve
(metrica) o pi� �dritta� (affinit�) tra Roma e Anchorage, avresti
probabilmente tirato una linea retta tra i due punti, dando una risposta
diversa (e sbagliata): la geometria del piano � molto diversa da quella
della sfera! [Non � un difetto delle cartine geografiche; � che non si
pu� introdurre una corrispondenza tra la sfera (o anche solo una sua
regione finita) ed il piano in modo che essa sia un'isometria o
un'affinit�: non puoi tagliare un pezzo del mappamondo e stenderlo sulla
scrivania senza romperlo o deformarlo.]
Tornando alla luce (e passando dalle superfici bidimensionali
all'universo), si pu� dire, che sia �la teoria classica� che la RG
affermano che essa viaggia �dritta� (pi� precisamente, secondo una
geodetica; il motivo fisico � che in entrambe le teorie la luce non �
soggetta a forze): solo che classicamente l'universo � piatto (come la
cartina geografica) e le sue geodetiche sono linee rette, mentre per la
RG (e per quanto dimostra l'esperienza) l'universo � curvo (come � curva
una sfera) e le sue geodetiche non sono linee rette (nel senso
cartesiano del termine). [A rigore, ho glissato sul fatto che per
Newton tempo e spazio sono completamente separati (e la luce si muove
secondo le geodetiche dello spazio tridimensionale), mentre per Einstein
formano un'unit�, per cos� dire, (e la luce si muove secondo geodetiche
dello spaziotempo quadridimensionale): su due piedi non riesco a
spiegarmi meglio in termini semplici.]
Da un punto di vista matematico, si pu� dire che una geodetica ha due
propriet� (che sono, a priori, geometricamente indipendenti tra loro):
* propriet� affine: ci puoi andare sopra in bicicletta senza mai
piegarti o girare il manubrio (� una curva autoparallela);
* propriet� metrica: � la distanza pi� breve tra due punti (in realt�
non � detto: pu� essere la pi� breve, la pi� lunga, oppure nessuna
delle due, in un modo simile a quanto accade per le funzioni, dove i
punti stazionari (quelli dove si annulla la derivata prima) possono
essere massimi o minimi locali oppure punti di flesso; in gergo, si
parla di curva estremale per il funzionale �distanza tra due punti
dati�, cio� di una curva per cui � stazionaria la funzione che
assegna ad ogni curva che passa per due punti dati la lunghezza del
percorso; forse conosci il principio di Fermat e sai che la luce non
necessariamente fa sempre il percorso pi� breve tra due punti).
Tecnicamente, se si fa geometria con una metrica, si pu� introdurre il
concetto di parallelismo in modo compatibile con il concetto di
estremale della lunghezza: questo � quello che accade normalmente ed
infatti siamo abituati a pensare alle linee rette sia come a linee
�diritte� che come a linee �dirette� (nel senso della minima distanza):
le stesse curve hanno entrambe le diverse propriet�. Non � necessario
che sia cos�, ma non mi addentro oltre: vorrei solo render chiaro che si
tratta di propriet� indipendenti.
Non ho avuto il dono della sintesi, ma spero di averti aiutato senza
crearti troppa confusione in testa. :-)
--
Davide Giovanni Maria Salvetti
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Received on Sat Jun 02 2001 - 16:40:35 CEST