Re: Conservazione dell'energia

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Sat, 18 Sep 2010 13:28:38 -0700 (PDT)

On 18 Set, 21:29, Elio Fabri <elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:
> argo ha scritto:
>
> > infatti non e' vero che si conserva sempre. In relativita' generale
> > accade solamente in casi particolari.
> > Dalle equazioni di Einstein segue una sorta di equazione di
> > continuita' per l'energia che nel caso del modello cosmologico
> > omogeneo e isotropo (che da' la metrica di FRW):
>
> > 1) rho'(t)_dt+3 a'(t)/a(t)[p(t)+rho(t)]=0
>
> > dove gli apici indicano la derivata temporale, rho(t) e' la densita'
> > di energia, p(t) e' la pressione, e a(t) e' il fattore di scala di
> > espansione (cioe' le distanze scalano con a(t): L(t)=a(t)/a(0)L(0)).
>
> Valter �Moretti ha scritto:> Ciao. D'accordo sono stato un po' troppo stringato e tu hai dato una
> > risposta pi� proecisa.
>
> A me pare invece che stiate parlando di cose diverse.
> Intanto correggo un paio di refusi di argo:
>
> 1) rho'(t) + 3 a'(t)/a(t)[p(t)+rho(t)] = 0
>
> L(t) = [a(t)/a(0)] L(0).
>
> Ma tu ti riferisci alla possibilita' che ci sia una grandezza
> conservata lungo una geodetica *in una geometria assegnata*.

Mi riferivo a questa situazione generale in RG: se hai un vettore di
Killing (di tipo tempo) K allora

J^a = T^ab K_b

soddisfa un'equazione del tipo nabla_a J^a =0 che � un'equazione di di
continuit� e definisce l'energia conservata nel tempo integrando su 3-
superfici di tipo spazio su porzioni che evolvono con il campo K.


Se non c'� un campo di Killing ma solo un campo di Killing conforme K
di tipo tempo, come per le metriche di FRW che dicevamo questo campo �
lungo le linee integrali degli osservatori che vedono l'universo
isotropo ed omogeneo, le condizioni

nabla_a K_b + nabla_b K_a = f g_ab

e

nabla_a T^{ab} = 0

insieme a T_ab = T_ba

producono, con la stessa J di sopra: nabla_a J^a = f T_a^a /2

se il tensore energia impulso ha traccia nulla si ha ancora
un'equazione di continuit� in cui il tempo � il parametro delle linee
integrali di K. Per� questo separa nettamente la materia massiva da
quella non massiva.

> Argo invece scriva la 1) che e' conseguenza delle eq. di Einstein, e
> dove rho, p sono componenti del tensore energia-impulso che appare
> nelle equazioni.
>
> Inoltre la 1) *e'* un'eq. di conservazione dell'energia.

come definisci questa energia e di quale sistema �?
Sicuramente non la definisci contraendo il tensore e-i lungo un campo
di vettoriale di tipo tempo, perch� il risultato non produce
un'equazione di continuit�. Chi � il tempo t di cui parla argo?


> Infatti se consideriamo un volumetto spaziale DV e lo seguiamo nel
> tempo, dalla 1) segue
>
> d/dt(rho*DV) + p*d/dt(DV) = 0
>
> che si legge: la variazione dell'erngia nel volume DV e' pari
> all'opposto del lavoro che le forze di pressione fanno verso
> l'esterno.

Scusa ma questa io la chiamo un'equazione di bilancio, non di
conservazione...per avere la conservazione di qualcosa devo integrare
la densit� su un volume tanto grande che non ci sono pi� forze esterne
oppure devo fare evolvere il volume con il campo vettoriale le cui
linee integrale hanno il tempo dell'equazione come parametro.

> Ossia il primo principio della termodinamica in condizioni
> adiabatiche.

Ma l'equazione scritta corrisponde a qualche componente di

 nabla_a T^ab =0

oppure no?
Immagino di no, proprio perch� NON c'�^ il campo di Killing e la
geometria non � assegnata completamente, ma allora con quale "diritto"
dici che stai parlando di un'energia? Dentro l'equazione di
conservazione che hai scritto c'� anche una parte dovuta alla
gravitazione? Se si, come definisci l'energia del "campo
gravitazionale" in relativit� generale?

Ciao, Valter
Received on Sat Sep 18 2010 - 22:28:38 CEST