Massimo S. ha scritto:
> Mettiamo che per andare dal punto A al punto B un raggio di luce ci
> mette il tempo T (ipotizzo che B sia fermo rispetto ad A e che T sia
> misurato nel SR solidale con i due punti).
> Mettiamo che successivamente lo spazio si espande.
> Ora un raggio di luce per andare da A a B si mette un tempo superiore a
> T ?
> Oppure, visto che il supporto alla propagazione della luce e' lo spazio,
> anche il raggio e' "espanso" (non so se si capisce cosa intendo) e quindi
> ci mette sempre T?
>
> Avrai notato che per semplicita' il mio esempio riguarda una espansione
> discontinua (prima lo spazio ha una certa dimesione in cui misuro T, poi
> si espande e rifaccio la misura)
>
> Nel caso (forse, piu' realistico) di espansione continua, puo' accadere
> che il punto B non sia mai raggiunto da un raggio di luce generato in A,
> ovvero A e B si possono allontanare a velocita' superluminari?
Forse e' il caso di prendere il toro per le corna, ossia di affrontare
il calcolo come va fatto "sul serio"...
Le ipotesi sono le seguenti: spazio-tempo omogeneo e isotropo, quindi
geometria detta "di Robertson-Walker".
Tralasciamo tutte le coordinate spaziali tranne una: allora la metrica
si puo' scrivere
ds^2 = R^2 (dv^2 - du^2),
dove v e' la coord. temporale, u quella spaziale, e R (raggio
dell'Universo, o parametro di scala) e' funzione solo di v.
N.B.: uso unita' tali che sia c=1.
Sul significato di u e di v, vedi dopo.
La propagazione della luce si ricava subito, poiche' sappiamo che le
curve orarie (geodetiche) della luce hano lunghezza nulla. Quindi
dv^2 - du^2 = 0,
che fornisce, integrando: u = +/- v + costante.
Il doppio segno si spiega: ci sono due versi di propagazione della luce.
Scegliamo ad es. il segno +. Dunque u = v + cost.
La costante e' fissata dalla condizioni iniziali. Supponiamo che la luce
parta al "tempo" v = v(A), dall'origine (u(A) = 0). Allora
u(B) = v(B) - v(A). (1)
Piu' facile di cosi'...
Pero' bisogna interpretare la formula...
Prima di tutto: dire che A e B sono fermi, significa dire che la loro
coordinata spaziale non varia. Dovremo dunque trattare u(A) e u(B) come
costanti fissate una volta per tutte.
Che tempo misurano A e B? Lo si vede dalla metrica. Un orologio fermo in
A (oppure in B) ossia con u costante, ha ds^2 = R^2 dv^2; quindi il suo
tempo proprio e'
tau = \int R(v) dv. (2)
La relazione fra tau e v non puo' essere decisa se non si conosce la
funzione R(v).
Quanto vale, e come varia, la distanza fra A e B? Questa distanza va
misurata "allo stesso tempo", ossia per v fissato. Allora, sempre dalla
metrica:
ds^2 = -R^2 du^2.
Il segno meno non deve spaventare: trattandosi di separazione spaziale,
e' il segno giusto, con la convenzione dei segni che ho scelto. Per la
distanza dl avro'
dl = R du
che s'integra subito (v e' costante, quindi lo e' anche R):
l = R u(B)
(ricorda che u(A) = 0).
L'interpretazione e' semplice: la distanza l varia *perche' varia R*,
sebbene A e B siano "fermi"... Tutte le distanze variano in proporzione
a R.
Nota che per questa ragione non si puo' parlare di "SR solidale con i
due punti".
Per rispondere alla tua domanda, bisogna sincronizzare gli orologi di A
e di B, cosa che in generale e' impossibile, proprio perche' non esiste
un rif. comune. Pero' nel caso del nostro modello di Universo siamo
fortunati. Dato che l'Universo e' omogeneo, possiamo accordarci di far
partire i due orologi quando una qualche proprieta' fisica (per es. la
temperatura della radiazione di fondo, o la densita' della materia)
assumono lo stesso valore in A e in B. Questo accade, per definizione,
allo stesso v.
Allora il tempo richiesto e'
tau = \int R(v) dv
come dice la (2), dove l'integrale va fatto tra v(A) e v(B), e
v(B) = v(A) + u(B) per la (1).
Come vedi, ho trattato il caso di espansione continua, e la risposta
alla tua domanda finale e' implicita: la luce da A raggiunge sempre B.
Anzi, possiamo porci un'altra domanda: se provassimo a misurare la vel.
della luce come rapporto fra la distanza l e il tempo tau trovati, che
cosa verrebbe fuori?
Risposta: dipende, perche' la distanza l cambia nel tempo in cui la luce
viaggia. Se guardi le espressioni di l e di tau, e tieni presente che
abbiamo supposto R(v) crescente, vedi subito che il rapporto l/tau e' <
1 se lo calcoli con la l iniziale, ma e' > 1 se calcolato con la l
finale.
Il che naturalmente non vuol dire che la vel. della luce sia > 1. Quel
rapporto *non e'* la vel. della luce, che va misurata *localmente*, in
vicinanza di un dato punto e in un intervallo di tempo piccolo
(infinitesimo). Se fai cosi' trovi sempre 1.
Se vuoi vedere le cose in modo piu' concreto, prova a prendere R(v) = k
v^2, che e' un modello di universo molto ragionevole.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
Received on Fri Mar 02 2001 - 10:12:05 CET