Lucarciof ha scritto:
> B, nelle fasi di deccelerazione/accelerazione non e' piu' in un sistema di
> riferimento inerziale, poiche' sente una forza costante e uniforme: in
> questo caso il tensore metrico g avra' solo la componente tempo-tempo.
(Si scrive "decelerazione", con una sola c...)
Beh, io direi:
1) Che non ha molto senso dire che B e' o non e' in rif. inerziale: B si
muove in un modo prestabilito, punto e basta.
2) Se vuoi, puoi chiederti come sara' fatto un riferimento nel quale B
appaia fermo, e questo certamente non e' inerziale, *dato il moto di B*.
3) La forza che B sente e' conseguenza del rif. non inerziale, non
viceversa.
Certo, se assumi che B stia ad es. chiuso in un'astronave, e non possa
guardare fuori, il solo modo che ha per accorgersi di stare accelerando
e' appunto la comparsa di una forza apparente.
4) Per il tensore metrico, v. dopo.
> ...
> Supponendo la deccelerazione lieve, le forze inerziali saranno piccole, per
> cui in prima approssimazione si puo' applicare il limite newtoniano per g00
> ...
> 2) La RG interviene qui, attraverso il principio di equivalenza, nell'
> espressione di g00, supponendo equivalente un campo gravitazionale ad un
> sistema accelerato.
Questo e' il nocciolo del problema. Fra poco ti mostrero' perche' a mio
modo di vedere la RG non c'entra.
> Integrare lungo una linea di universo non massimale in una varieta'
> lorentziana? No, integrare lungo una geodetica in una varieta' rienmanniana
> (spazio-tempo curvo)!
Sembra che Valter non si sia accorto di questo fondamentale errore del
nostro amico: egli crede che nel rif. accelerato lo spazio-tempo sia
curvo!!
Non te la prendere per questo, Luca: e' un errore che ha una storia
antica e rispettabile, visto che risale allo stesso Einstein...
Ma solo la presenza di materia puo' incurvare lo spazio-tempo, non il
fatto che tu stia a fare le tue misure in un riferimento o in un altro.
Cambiare riferimento significa solo cambiare coordinate; cambiera'
l'espressione del tensore metrico, e le componenti di tutti i tensori.
Ma se il tensore
di Riemann e' nullo in un riferimento, e' nullo pure nell'altro.
Dato che siamo d'accordo che nel rif. inerziale la metrica e' quella di
Lorentz (quindi spazio-tempo piatto) lo stesso e' vero per qualsiasi
riferimento.
Quindi, in particolare, niente deviazione di geodetiche...
E ora vediamo come io tratterei il problema dei gemelli, mettendomi nel
rif. del gemello B.
Siano (x,t) le coordinate nel rif. A (trascuro le altre due coord.
spaziali): allora ds^2 = dt^2 - dx^2 (c=1, per alleggerire le formule;
usero' notazioni TeX, sperando che questo non sia un problema).
Sia x(t) la legge oraria del gemello B, \tau il suo tempo proprio;
introduco la funzione h(\tau) definita da dx/d\tau = \sinh h, dt/\tau =
\cosh h (notare che \cosh h non e' che il solito \gamma; h e' la
rapidita').
Voglio definire prima di tutto un riferimento *rigido* che si muove
insieme a B. Siano \xi, \eta le coord. spaziale e temporale nel rif.
cercato. La trasformazione e':
x = \int_0^\eta \sinh h(\eta') d\eta' + \xi \cosh h(\eta)
t = \int_0^\eta \cosh h(\eta') d\eta' + \xi \sinh h(\eta). (1)
Infatti per \xi=0 si ha
dx = \sinh h(\eta) d\eta
dt = \cosh h(\eta) d\eta
e da queste si vede che il punto \xi=0 si muove proprio come B, e il suo
tempo
proprio e' \tau = \eta.
Per la metrica nelle coord. \xi, \eta:
ds^2 = [1 + \xi h'(\eta)]^2 d\eta^2 - d\xi^2.
Questa mostra che eventi con la stessa \eta hanno separazione spaziale
\xi, ossia \xi e' proprio la distanza misurata nel rif. accelerato.
Se accanto al punto B, con la legge oraria detta, consideri un punto B',
con legge oraria data dalle (1) per \xi fissato, vedi che dx/dt e' lo
stesso per B e per B' a parita' di \eta, quindi il rif. tangente a B lo
e' anche a B', e in questo rif. la distanza BB' e' appunto \xi.
Cio' per dimostrare che le (1) definiscono il rif. richiesto.
Nota: sempre dalle (1) si vede che la legge oraria di B' *e' diversa* da
quella di B, ossia la loro distanza, misurata nel rif. inerziale, varia.
Visto da A, il rif. accelerato no appare rigido, il che e' ovvio, dato
che esiste la contrazione di Lorentz.
Ora vediamo che tempo misura B. Ho gia' detto che \tau = \eta.
Se x(0) = 0 e poi x(T) = 0, ossia se B lascia A al tempo t=0 e lo
ritrova al tempo t=T, abbiamo dalla seconda delle (1), per \xi=0:
T = \int_0^\tau \cosh h(\tau') d\tau' > \tau.
Dunque non c'e' simmetria: l'orologio di A segna un tempo piu' lungo!
Piu' quantitativamente, supponiamo che il moto di B sia uniforme salvo
dei brevi tratti che trascuro nell'integrale: allora
T = \int_0^\tau \gamma d\tau' = \gamma \tau
come si doveva dimostrare.
Commento: dove ho usato la RG? Non ho mai parlato ne' di pr. di
equivalenza, ne' di campo gravitazionale. Ho solo introdotto un nuovo
sistema di coordinate, che ho interpretato come associato al riferimento
solidale a B.
Il tuo uso del PE e' in realta' al rovescio del giusto: il PE si puo'
usare per capire che cosa succede in un campo grav., sapendo che cosa
succede in un rif. accelerato (e' appunto cosi' che Einstein previde il
redshift). Tu invece pretendi di ricavare quello che si vedra' in un
rif. accelerato equiparandolo a un rif. in cui sia presente un campo
gravitazionale, e dando per noto che in questo caso il tempo ... il
tensore metrico ...
Nota bene: dico "tu", ma so che non hai fatto altro che ripetere quanto
sta scritto in molti libri. Fortunatamente, non in tutti.
--
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
Received on Mon Feb 12 2001 - 09:54:18 CET