Re: vettore di poynting

From: Adriano Amaricci <amaricci_at_tiscalinet.it>
Date: Fri, 26 Jan 2001 16:27:47 +0100

zoran_savic_at_my-deja.com ha scritto nel messaggio
<94qc14$cfp$1_at_nnrp1.deja.com>...
>volevo sapere se qualcuno � in grado di rispodnere in modo completo a
>questa domanda: (tema d'esame di fisica2 politecnico di Milano
>19.6.2000)
>
>Si definisca il vettore di Poynting e si discuta come esso sia legato
>all'energia trasportata da un'onda elettromagnetica.
>


ciao, spero che sia solo un punto di un tema d'esame:) In verit� la cosa pu�
essere vagamente lunga e devi partire dal definire la densit� di energia del
campo elettrico e del campo magnetico uE e uB, per� supposta la conscenza di
come ricavare queste due quantit� (la seconda un po' meno banale della
prima), consideri un volume V la cui superficie goda di una certa regolarit�
dato che dopo potremmo aver bisogno di applicare teoremi della divergenza
e\o di Stokes, magari dopo togliamo questa richiesta. Considera un onda EM
propagantesi nel mezzo, supponiamo per semplicit� che questo sia omogeneo,
allora l'energia racchiusa nel volume �:

Utot= � int(V) uE + � int(V) uB

se poi supponi il mezzo omogeneo pui sicuramente scrivere che le relazioni
tra i vettori E,B e D,H sono:

D=epsE; B=muH (o mi per i puristi, io ho fatto lo scientifico:))


uE=1/2 <E,D>--->� epsE�

uB=1/2<H,B>---> � muB�

ora se sostituisci e derivi rispetto al tempo a destra e sinistra (derivare
sotto il segno di integrale lo puoi fare se supponi una necessaria
regolarit� dei campi e del dominio)

_at_U/_at_t = int(V) [<E,_at_D/_at_t> + <H,_at_B/_at_t>]

dove ovviamente <,> � l'usuale prodotto scalare di R�

Questa forma � senz'altro comoda per infilare le equazioni di Maxwell dei
rotori che coinvolgono proprio le derivate parizli di D e B:

-_at_B/_at_t= rotE: @D/_at_t= rotH - J

sostituisci e scolgi i prodotti semplic ottenendo la forma:

_at_U/_at_t= int(V) [<E,rotH> - <E,J> - <H,rotE>] dV

per� tu che sei un campioncino della matematica ti accorgi quasi subito che
puoi sostituire una ben nota relazione tra operatori deifferenziali
vettoriali:

<E,rotH> - <H,rotE>= - div(E^H)

ove .^. � il beneamato prodotto vettoriale.

sostituisci ancora:

_at_U/_at_t= - int(V) div(E^H) - int(V) <E,J>

noterai che ho spaccato l'integrale, questo perch� avendo una divergenza
sotto integrale di volume voglio sfruttare il teorema della divergenza ,
quindi abbiamo fatto bene ha prendere una superficie regolare, otteniamo:

-_at_U/_at_t= int(@V) (E^H) ds + int(V)<E,J>dV

questa sembrerebbe una forma definitiva, l'ultimo pezzo ti ritorna essere
proprio l'integrale della densit� di potenza dissipata per effetto Joule nel
conduttore, in pratica rende l'effetto Joule che il campo elettrico della
OEM sviluppa nel conduttore, i conti sono ovvi considerando l'espressione
della forza che il campo EM esercita su una carica in moto con velocit� v.

Ma allora chi � l'altro pezzo che compare a secondo membro della nostra
espressione? abbiamo un prodotto vettoriale di due campi vettoriale che �
esso stesso un campo vettoriale che risulta ortogonale ai vettori E,B (se
l'oinda � piana � ovvio che E,B,S formano una terna ortonormale orientata).
Se sviluppi il prodotto vettoriale su un'onda piana ti accorgi
immediatamente che

S=E^H= B�/mu * v = �(epsE� + B�/mu)*v

che � proprio la densit� totale di energia del campo EM moltiplicata per la
velocit� dell'onda. S=uv. Se sviluppi i conti anche per altri tipi
importanti di onde (sferica,....) ritrovi, salvo coefficenti moltiplicativi
tipo 1/r� che fra l'altro salvaguardano la conservazione dell'energia, le
stesse identiche considerazioni. Ne deduci quindi che: il vettore S, detto
di Poynting, � l'espressione vettoriale del flusso si energia portata dal
campo EM che attraversa una data superficie. Il modulo del vettore S �
l'energia che attraversa una superficie disposta ortogonalmente alla
direzione dell'onda in un a unit� di tempo. Il flusso del vettore S �
proprio il flusso di potenza del campo EM.
L'interpretazione "energetica" del vettore S � coerente solo nel caso in cui
si abbia a che fare con fenomeni dipendenti dal tempo, dato che si possono
verificare situazioni fisiche in cui sia diverso da zero il prodotto
vettoriale E^H anche quando siamo in presenza di campi statici.
Received on Fri Jan 26 2001 - 16:27:47 CET