Re: Già che ci sono: principio delle geodetiche e principio di equivalenza

From: Valter Moretti <valter.moretti_at_unitn.it>
Date: Sat, 23 Jul 2022 11:13:30 -0700 (PDT)

Il giorno sabato 23 luglio 2022 alle 19:50:03 UTC+2 JTS ha scritto:
> On 23.07.22 17:17, Valter Moretti wrote:
>
> >


> > Per fare un esempio l’equazione di Schroedinger non è un’equazione alle derivate parziali. La topologia che si usa nella variabile t è del tutto diversa da quella per x,y,z. Negli articoli di fisica teorica, a meno che non sia quello il punto per ragioni fisiche, le diverse topologie non contano…per me confonderle è quasi una bestemmia…
> >
> Questa alla prima risposta me la sono fatta sfuggire. Brevi indicazioni
> per avere un'idea? Perché R^4 non va bene?

Perché si tratta di un'equazione che si ottiene derivando in t l'equazione di evoluzione (pongo 1 la costante di Planck razionalizzata)

psi_t = e^{-itH} psi (1)

Dove psi è la funzione d'onda nello spazio di Hilbert al tempo 0 e psi_t è la funzione d'onda nello spazio di Hilbert al tempo t.
La derivata in t si deve fare nella topologia dello spazio di Hilbert.


Nel caso tale spazio di Hilbert sia quello standard L^2(R) (lavoro in una dimensione), e H sia l'estensione di un operatore differenziale del secondo ordine

H = -(1/(2m)) d^2/dx^2 + V(x)

 derivando in t la (1)
ho

dpsi_t/dt = -iHpsi_t
cioè

i dpsi_t(x)/dt = -(1/(2m)) d^2 \psi_t(x) /dx^2 + V(x) \psi_t(x)

Questa è l'equazione di S. Ho assunto che psi_t sia sufficientemente differenziabile (in realtà il dominio di H permette cose ben peggiori)


Ma la derivata in t a primo memebro non è così.

Per es, diciamo che g nello spazio di Hilbert è la derivata di psi_t a t=0 se

|| g - (psi_h - psi_0)/h||->0 per h ->0.

Quella norma che appare sopra, per funzioni d'onda di L^2(R), è costruita con l'integrale :

|| f||^2= integ |f(x)|^2 dx...


Come vedi c'è un abisso tra quello che si fa in t e quello che si fa in x.

Ciao, Valter
Received on Sat Jul 23 2022 - 20:13:30 CEST