Valter Moretti ha scritto:
> Per fare un esempio l'equazione di Schroedinger non è un'equazione
> alle derivate parziali. La topologia che si usa nella variabile t è
> del tutto diversa da quella per x,y,z. Negli articoli di fisica
> teorica, a meno che non sia quello il punto per ragioni fisiche, le
> diverse topologie non contano ... per me confonderle è quasi una
> bestemmia ...
> ...
> Per es, diciamo che g nello spazio di Hilbert è la derivata di psi_t a
> t=0 se
>
> || g - (psi_h - psi_0)/h||->0 per h ->0.
> ...
> Come vedi c'è un abisso tra quello che si fa in t e quello che si fa
> in x.
In effetti... Sebbene forse a livello inconscio lo sapevo, non credo di
aver mai messo in evidenza questo fatto in tutti gli anni che ho
insegnato MQ, QFT, ecc.
Però stanotte ci ho rimuginato, e ho qualche commento e qualche dubbio.
Per prima cosa chiarisco che la profonda differenza sta tra come
vengono trattati i vari campi classici (es. eq. di Maxwell) da una
parte, e le funzioni d'onda dall'altra.
Un campo classico - prendiamo il pot. scalare - è una funzione R^4-->R
(o magari un dominio più ristretto di R^4, ma sempre un aperto).
A questa funzione chiediamo proprietà di differenziabilità: forse C^2
basta?)
Questo è più forte che chiedere derivabilità rispetto a tutte le
coordinate: si vuole che esistano tutte le derivate direzionali, e
siano esprimbili come combin. lineari delle derivate parziali rispetto
a x,y,z,t.
Questo requisito impegna la funzione solo in un intorno del punto dove
si calcolano le derivate. Quello che succede in punti distanti è
valutato in intorni di quei punti, senxa alcun collegamento tra i
punti.
Non mi pare neppure che si chieda (a meno che non segua) la
convergenza uniforme del limite che figura nella definizione di
derivata. (Qui già si vedono i miei limiti sulla padronanza
dell'Analisi :-( )
In MQ invece si chiede la convergenza in norma, che in L^2 è una
proprietà integrale.
Quindi da un lato si accettano funzioni meno "buone" di quelle che si
accetterebbero come potenziale scalare, ma dall'altro il limite
(derivata in un punto) coinvolge *tutto* il dominio della funzione,
causa l'integrale.
E ora alcuni dubbi.
Tutto bene per l'evoluzione temporale, ossia per l'azione sullo spazio
di Hilbert del gruppo delle traslazioni temporali.
Ma che succede con le traslazioni spaziali?
Come gruppi astratti traslazioni in x e trasl. in t sono isomorfi, ma
l'azione è diversa.
Se T_a è l'operatore (unitario) che rappresenta una traslazione
spaziale di ampiezza a, la sua azione su una f. d'onda f(x) è
definita da
T_a f(x) = f_a(x) = f(x-a).
In primo luogo, essendo a un reale qualsiasi, occorre che f abbia per
dominio tutto R.
Secondo:
T_a = exp(-iaP) (1)
e
df_a/da = -iP f_a = -df_a/dx
da cui
P = -i d/dx. (2)
Ma queste che derivate sono? In norma?
A questo punto io mi perdo, perché conosco alcuni risultati che non so
come mettere insieme.
Il teorema di Stone mi assicura che P come scritto in (1) esiste,
autoaggiunto (e per di più unico).
Quanto alla (2) però so che l'operatore i*derivata esiste autoaggiunto
nel dominio delle funzioni assolutamente continue con derivata in L^2.
E' chiaro che la situazione è più complicata che nel caso delle
traslazioni temporali...
Ma non ho finito.
In mecc. q. relativistica è fondamentale il gruppo di Poincaré, che
include sia traslazioni spaziali sia temporali. Senza contare il
gruppo di Lorentz, che mescola spazio e tempo.
Dicendo m.q.r. non intendo teoria dei campi: penso alla m.q. di una
singola particella, mettiamo pure di spin 0 per eliminare una sfilza
di questioni.
Ovviamente non posso ammettere un trattamento speciale per le
traslazioni temporali: t,x,y,z debbono essere sullo stesso piano.
(Anche se nei primi anni '60 con Picasso lavoravamo proprio a un
approccio opposto: una m.q.r. che in ogni dato rif. inerziale è
costruita come la m.q. non relativistica a parte la forma della
hamiltoniana.)
Che significato hanno in questo caso le derivate rispetto alle
coordinate?
Chissà se sono riuscito a farmi capire...
--
Elio Fabri
Received on Sun Jul 24 2022 - 12:16:38 CEST