Brachistocrona

From: CCCP <andrea_coletta_at_inwind.it>
Date: 2000/11/12

Ho gia postato su it.scienza.matematica, senza risposta:

Il calcolo della traiettoria piu' breve nel tempo tra i punti 1 e 2 nel
campo gravitazionale (supposto lineare), si riduce ad un problema
variazionale, sulla minimizzazione dell'integrale:

2
S sqrt((1+vy^2)/(2gy)) dx
1

g=accelerazione gravitazionale s.l.m.
vy= "y-punto".
y=funzione di x, incognita dell'equazione.

posto f(y,vy,t)=sqrt((1+vy^2)/(2gy))

sappiamo che l'integrale � minimo sulle traiettorie per cui:

    df d df
   ---- = ---- ------
    dy dx d(vy)

                 _________ _____________
               / (1+vy^2) d / vy^2
(-1)* / ----------- = ---- / ----------------
          \/ 8g*y^3 dx \/ 2g(1+vy^2)*y

semplifichiamo un 2g a denominatore (supponendo g costante nella traiettoria
che studiamo)
                 _________ _____________
               / (1+vy^2) d / vy^2
(-1)* / ----------- = ---- / ----------------
          \/ 4*y^3 dx \/ (1+vy^2)*y

adesso che faccio, ho pensato di calcolare la derivata a secondo membro
usando la regola delle funzioni composte, e dopo qualche manipolazione ho
ottenuto (modulo errori di calcolo!):

vy^4 - vy^3 +(2y)*vy^2 - vy + (2y+1) = 0

ora mi chiedo:

ho fatto bene a far quel che ho fatto, cio� quella che ho adesso � proprio
una equazione differenziale per y?
(vy=dy/dx).
Se s�, come la risolvo ? c'� un particolare ansatz per y che la semplifica,
o devo usare una formula risolutiva per eq di 4� grado? oppure sono
completamente rinc******ito e non vedo subito la soluzione? oppure ho
sbagliato tutto?

ricordo da una mostra scientifica a cui ero andato alle medie, che la
soluzione dovrebbe essere una cicloide (?), o sto dicendo ancora una
ca***ta?

insomma ho le idee un po' confuse! :-)

grazie a chi mi aiuter�!

Andrea
Received on Sun Nov 12 2000 - 00:00:00 CET