On 21 Ago, 23:34, carlo spinelli <cspin..._at_gmail.com> wrote:
[...]
> Ora vi chiedo di notare che se in una certa regione il rotore � nullo
> ovunque non significa necessariamente che la l'integrale di linea su
> un cammino chiuso (contenuto nella regione) sia nullo.
Certo, infatti il teorema di Stokes dice che il flusso del rotore di
un campo vett. A su una superficie S e' uguale alla circuitazione di A
sul bordo di S, non su una linea qualunqe.
> Ci� � garantito
> solo se la regione da me considerata � priva di tunnel. Cio�, come si
> dice, semplicemente connessa. Mi chiedo se, cos� come esiste un nome
> per denotare le regioni prive di tunnell (semplicemente connesse)
> esiste anche un nome per denotare le regioni prive di bolle.
In R^3 qualcuno le chiama regioni a "connessione superficiale
semplice":
http://www.elettra2000.it/vdegliesposti/Dispense%20Propagazione/I%20principali%20teoremi%20del%20calcolo%20integro-differenziale.pdf
> E mi chiedo perch� viene non viene data alle regioni prive di bolle in
> relazione alla divergenza la stessa importanza che viene data alle
> regioni prive di tunnel in relazione al rotore.
Forse ne viene data poca in elettrodinamica perche' di solito non
capita, infatti di solito si usa il teorema di Gauss.
In ogni caso, tu non hai realmente bisogno di sapere se la regione di
piano e' un semplicemente connesso o se la regione di spazio e' a
"connessione superficiale semplice" perche' ti basta ricordare il
teorema di Stokes.
1. Vuoi calcolare la circuitazione di un campo vettoriale A lungo una
linea chiusa, diciamo la circonferenza unitaria centrata in O; il
rotore del campo e' nullo in tutti i punti interni al disco che ha
come bordo la circonferenza, tranne che in O. L'integrale sara' nullo?
Come deve essere la regione di spazio/superficie (non mi ricordo...)?
Applico il teorema di Stokes: la circuitazione e' uguale al flusso del
campo su una qualunque superficie che ha tale linea come bordo:
Int_{bordo S} A.dl = Int_{S} rotA.dS
prendo il disco di cui sopra e scopro che l'integrale e' non nullo
perche' rotA.dS =/= 0 attorno al punto O.
Ma allora quando e' che l'integrale e' nullo? Semplice, basta prendere
una regione in cui rot A e' sempre 0 ovvero dove non vi sono sorgenti
(e' condizione solo sufficiente). Ma se prendo una regione di piano
che circonda O? Vale lo stesso, solo che la circuitazione la devi fare
appunto sul bordo di tale regione e il bordo e' fatto di due curve,
quella interna e quella esterna.
2. Vuoi calcolare il flusso di un campo vettoriale A su una superficie
chiusa, diciamo la superficie sferica unitaria centrata in O; la
divergenza del campo e' nulla in tutti i punti interni alla sfera che
ha come bordo la superficie sferica, tranne che in O. L'integrale
sara' nullo? Come deve essere la regione di spazio/superficie (non mi
ricordo...)?
Applico il teorema di Stokes: il flusso e' uguale alla divergenza del
campo sulla regione di spazio V interna alla superficie:
Int_{S} A.dS = Int_{V} divA dV
e scopro che l'integrale e' non nullo perche' divA dV =/= 0 attorno al
punto O.
Ma allora quando e' che l'integrale e' nullo? Semplice, basta prendere
una regione in cui div A e' sempre 0 ovvero dove non vi sono sorgenti
(condizione sufficiente). Ma se prendo una regione di spazio che
circonda O? Vale lo stesso, solo che il flusso lo devi fare appunto
sul bordo di tale regione e il bordo e' fatto di due superfici, quella
interna e quella esterna.
Come vedi non ho avuto bisogno di sapere se la regione e'
"semplicemente connessa" o "a connessione superficiale semplice" o
altro.
Ciao.
Received on Mon Aug 23 2010 - 20:02:21 CEST