Federico Spano' ha scritto:
> Si', ma in senso culturale la cosa e' vera.
> ...
> Fatto e' che la storiella del 'demone di Leibniz' o chiunque altro
> fosse ...
era Laplace
> ... insomma quello che riteneva di poter predire ogni evento ammesso
> di possedere una conoscenza esatta dello stato dell'universo ad un dato
> istante, si era diffusa nel pensiero colto (veramente anche per
> Einstein, come e' noto, il tempo era reversibile, in teoria). Lo studio
> dei sistemi caotici (cioe', in ultima analisi, dei sistemi mecanici non
> integrabili) aveva portato almeno gli addetti ai lavori a comprendere
> definitivamente che la storiella era falsa.
Beh, andiamoci piano: v. dopo.
> In una parola, una strada che lo studio dei sistemi caotici ha aperto e'
> quella verso la comprensione del fatto che, senza bisogno di conoscere
> il principio di indeterminazione e la relativita' generale, ma solo con
> un po' di meccanica newtoniana e di matematica, si puo' accedere alla
> conoscenza del fatto che il futuro e' impredicibile per definizione. Vi
> assicuro che per il 'pubblico colto' (lo so per esperienza diretta:) e'
> una nozione fondamentale.
Non ne dubito; pero' e' una nozione assolutamente fraintesa.
Io sono molto molto scettico su questo genere di "divulgazioni", che a
mio parere non sono mai "innocenti". Nel senso che tendono sempre a
tirare l'acqua al proprio mulino: finalmente la scienza ha dovuto
rinunciare alle sue pretese, ecc.
Valter Moretti ha scritto:
> Ciao, cosa intendi per "integrabili"?
> Intendi nel senso della teoria hamiltoniana (esistenza di
> n integrali primi funzionalmente indipendenti e in involuzione).
Penso che intenda questo, anche se forse non lo sa.
Non credo che nessuno abbia mai dimostrato che un sistema hamiltoniano
non integrabile e' caotico: personalmente l'ho sempre vista come una
congettura.
Ovviamente la proposizione inversa e' vera: un sistema caotico non e'
integrabile.
> Credo che quella di cui tu stai parlando e' piu' la teoria
> dei sistemi ergodici che caotici.
Io credo di no: sbaglio, o un sistema puo' essere integrabile e anche
ergodico?
Il comportamento caotico e' in certo senso piu' "forte" di quello
ergodico, e in un altro senso piu' debole. Infatti il caos puo' essere
ristretto a una regione dello spazio delle fasi (vedi ad es. il teorema
KAM) e percio' non implica ergodicita'.
> I sistemi caotici possono anche non essere hamiltoniani (basta
> che lo spazio abbia dimensione dispari), anzi alcuni sono
> dissipativi e cio' e' impossibile per i sistemi hamiltoniani
> (per il teorema di Liouville).
Vero, anzi gli esempi classici (Lorenz, Roessler) sono proprio cosi':
hanno dimensione 3.
Per un sistema hamiltoniano la somma degli esponentidi Liapunov e'
sempre zero, il che vuol dire che se le trietorie si allontanano in un
direzione, ce n'e' un altra in cui si avvicinano. In altre parole: un
volumetto dello spazio delle fasi non cambia misura (teorema di
Liouville) ma puo' sfilacciarsi e incasinarsi a volonta'. E questo e'
caos.
Invece un attrattore strano si puo' avere solo in un sistema
dissipativo, dove la misura tende a zero, ma il dominio limite (si dice
cosi', temo di no) non e' semplicemente a dimensione inferiore nel senso
usuale. Per questa via i frattali entrano nella "teoria" del caos.
> Comunque io non ho ancora visto
> una definizione precisa di sistema caotico, conosco solo sistemi
> detti "caotici" singolarmente, come il sitema di Lorenz, in cui
> c'e' un attrattore strano...
Hai ragione. Le mie nozioni in materia non sono piu' tanto fresche, ma
non ho presente una definizione, ma solo dei tentativi di
caratterizzazione (esponenti di Liapunov, entropia di Kolmogorov,
distribuzione spettrale...).
Pero' le cose potrebbero essere cambiate negli ultimi anni.
Enrico SMARGIASSI ha scritto;
> No, nell'ambito della meccanica newtoniana (e relativistica,
> speciale e generale) il futuro e' *predicibile* per definizione,
> anche nei casi caotici; e' "solo" esponenzialmente difficile da
> prevedere. Disponendo di sufficiente potenza di calcolo in teoria
> si potrebbe prevedere tutto, se non fosse per la Meccanica
> Quantistica.
Valter Moretti ha scritto:
> Credo che bisogna mettersi d'accordo sui termini: che cosa
> intendiamo per predicibile? Se intendiamo che c'e' una legge
> deterministica che descrive il sistema allora hai ragione.
> Se intendiamo invece che possiamo dire con qualche
> approssimazione quello che accadra' allora hai torto.
> Io tendo a vederla come te, pero' ci sarebbe da discutere,
> forse Federico intende impredicibile in senso "pratico".
Io credo di avere una posizione intermedia, forse perche' sono sensibile
agli ordini di grandezza in gioco.
Non concordo con l'affermazione di impredicibilita', come viene venduta
la pubblico che F. Spano' chiama "colto", perche' viene certamente
intesa in senso assoluto, senza qualificazioni.
Facciamo un esempio terra-terra: i moti di pianeti, comete, asteroidi
sono perfettamente predicibili, a condizione che si abbiano i dati
necessari. Ad es. qualche anno fa e' stato previsto esattamente che una
certa cometa avrebbe colpito Giove.
Eppure e' praticamente certo che il sistema solare e' caotico. Come
faccio a mettere d'accordo le due cose?
La risposta sta nel concetto di "tempo di Liapunov", che posso definire,
un po' alla buona, come il tempo in cui un errore iniziale nei dati si
amplifica di un fattore e (2.7...).
Ora e' probabile che per il sistema solare tale tempo sia dell'ordine
del centinaio di milioni di anni, quindi non c'e' nessun problema se si
vogliono fare previsioni entro un anno, un secolo, anche un milione di
anni. Con un miliardo di anni invece avremmo dei problemi, ma in realta'
li avremmo indip. dal caos, per il fatto che le forze in gioco non sono
esattamente note (non c'e' solo la gravita'...).
Viceversa, prendiamo un esempio ancora piu' banale e classico: un
biliardo con due palle (ideale: niente attriti, urti perfettamente
elastici, ecc.).
Anche questo e' un sistema caotico, e butto li' che se lancio una palla
con velocita' di 1 m/s il tempo di Liapunov sara' al massimo 10 s.
Supponiamo di voler prevedere le posizioni delle palle dopo un minuto,
con l'approssimazione di 1 cm: dato che il tempo e' 6 volte quello di
Liapunov, occorrera' che le posizioni iniziali siano note con incertezza
inferiore a 1/e^6 = 0.0025 cm. Non e' facile.
E se volessi fare previsioni a un'ora? Avrei bisogno di un'incertezza
iniziale inferiore a 1/e^360 < 5E-157 cm.
Percio' non e' questione di potenza di calcolo...
Mi pare pero' che la domanda originaria fosse "che cos'e' la teoria del
caos?"
Direi che l'espressione e' appunto un'invenzione della divulgazione di
cui sopra.
Non c'e' una "teoria del caos": c'e' un settore di ricerca che vanta
antecedenti illustri e antichi (Poincare', Liapunov) ma ha preso vigore
solo negli anni '60.
La scoperta del "comportamento caotico", e del fatto che questo e' molto
piu' diffuso di quanto si credeva, ha portato a tentativi di trovare
leggi generali, anche attraverso ricerche "sperimentali" (matematica a
computer).
Non puo' stupire che tali ricerche siano divenute possibili solo da
quando si dispone di potenze di calcolo (e di mezzi di rappresentazione,
ad es. grafici) adeguati.
Un altro settore della ricerca concerne l'applicazione di quelle ...
regolarita' allo studio di fenomeni naturali (es. battito cardiaco) o
comunque di laboratorio (es. eccitazione dei laser).
Questo e' quasi tutto quanto ne so, detto in breve.
Sul valore culturale: messe da parte le esagerazioni e le distorsioni,
e' un fatto che oggi non si puo' insegnare neppure la meccanica
elementare senza fare almeno un cenno al comportamento caotico; che la
distinzione dei sistemi hamiltoniani integrabili dai non integrabili
viene fatta con molto maggiore chiarezza.
Provate a riguardare ad es. il "magnifico trattato di LL" (parole, credo
sarcastiche, di Arnol'd): l'esposizione e' fatta in modo da lasciar
credere che i sistemi integrabili siano la regola, o quanto meno una
buona approssimazione di qualunque sistema hamiltoniano.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
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Nuova moderazione in fase di test - perdonate i disagi
Received on Sat Oct 14 2000 - 00:00:00 CEST