Salve, voglio proporvi la seguente questione sull'analisi degli errori
di una misura.
Supponiamo di voler misurare una certa grandezza f, funzione di un
certo numero di grandezze x1.....xn, che suppongo di misurare
direttamente.
Supponiamo che l'errore sulla misura delle grandezze x1.....xn sia un
errore valutabile a priori, dovuto solamente alla sensibilit� finita
degli strumenti utilizzati nelle misure di queste grandezze.
Pi� precisamente si suppone di aver appurato che nella misura delle
grandezze suddette:
1) gli errori sistematici siano trascurabili rispetto a quelli di
sensibilit�.
2) gli errori a posteriori, cio� gli errori statistici siano
trascurabili rispetto a quelli di sensibilit�.
In questa situazione si pu� affermare la seguente cosa:
se misuro con uno strumento di sensibilit� Ds la grandezza xs,
ottenendo il valore Xs, allora tutti i valori dell'intervallo
(Xs-Ds,Xs+Ds) sono equiprobabili. In altre parole la distribuzione di
probabilit� della misura � una funziona a gradino, debitamente
normalizzata.
In questa situazione � evidente che la corretta propagazione degli
errori per stimare l'errore sulla misura delle grandezza f � la
seguente:
(1) Df=|df(x1...xn)/dx1|D1+............|df(x1...xn)/dxn|Dn.
Dove le derivate sono valutate sulla miglior stima della grandezza f,
che � ovviamente:
F=f(X1.....Xn)
Si noti che per ottenere questa relazione si � utilizzato l'ipotesi che
gli errori di cui sono affette le misure sono molto pi� piccoli dei
migliori valori Xs misurati, di modo da poter approssimare con
sufficiente precisione la funzione f in un intorno di F con il suo
sviluppo di Taylor arrestato al primo ordine. Si � supposto inoltre che
tutte le derivate parziali presenti nella formula siano
sufficientemente (in modulo) maggiori da zero, di modo da poter
trascurare i contributi dovuti ai termini di ordine superiore.
Ovviamente la funzione f deve essere sufficientemente regolare per
poter effettuare lo sviluppo suddetto.
In molti casi, per� si sente dire che anche in questo situazione
"sarebbe meglio utilizzare la seguente formula per non sovrastimare
l'errore":
(2) DF=
sqrt(df(x1...xn)/dx1)**2*D1**2+.......df(x1...xn)/dxn)**2*Dn**2)
dove sqrt sta per radice quadrata e il simbolo ** per elevamento a
potenza.
Secondo me l'utilizzo di questa relazione � in linea di principio
errato, in quanto presuppone che la distribuzione di probabilit� che
descrive la misura della grandezza Xs sia Gaussiana, quando per la
natura della misura (solo errore di sensibilit�) la distribuzione �
sicuramente a gradino.
Pi� precisamente nel caso di utilizzo della relazione (2) la Df sarebbe
la miglior stima della standard deviation della distribuzione Gaussiana
della grandezza f (tra le altre cose mi ripugna abbastanza ritenere che
l'errore di una grandezza distribuita secondo una gaussiana sia la sua
standard deviation in quanto lascio fuori il 30% dei possibili valori).
Una possibile spiegazione dell'utilizzo di questa relazione potrebbe
essere quella di considerare i valori vicini alla miglior stima come
pi� probabili di quelli pi� lontani, considerando cosi' la
distribuzione di probabilit� della misura delle grandezze Xs non a
gradino ma pi� grande al centro e pi� piccola ai bordi (vicino a
Xs+-Ds). A mio modo di vedere assumere una distribuzione di probabilit�
di questo genere � errato perch� non esiste nessuna ragione di ritenere
i valori vicini alla miglior stima piu' probabili di quelli lontani;
inoltre se si vuole essere pedanti, non c'� nessuna ragione per
ritenere che distribuzione di probabilit� 'migliorata' sia una
gaussiana.
Quindi mi sento di affermare che la corretta relazione per stimare
l'errore della grandezza f sia la (1) e non la (2), in quanto la (2)
presuppone un'informazione (valori pi� probabili vicino alla miglior
stima) che la misura non fornisce se lo strumento con cui � effettuata
la misura ha una sensibilit� D. Quindi la relazione (2) conduce ad una
sottostima dell'errore.
Per fissare le idee consideriamo la misura della lunghezza di un'asta
con un calibro con una sensibilit� di 1/20 di millimetro. Supponiamo di
aver misurato il valore 10cm. evidentemente se il calibro � ben
costruito, posso solo affermare che la lunghezza dell'asta � compresa
nell'intervallo (10cm-1/20mm,10cm+1/20mm), e che tutti i valori
compresi nell'intervallo sono equiprobabili.
Ne' convenite?
ciao zeb
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