Matrici Siplettiche (per Adriano Amaricci)

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/09/15

  Scusate per questo crossposting. E' una risposta su it.scienza.matematica. che
  avevo mandato dietro una domanda di Adriano Amaricci. Ho dei problemi a leggere
  it.scienza.matematica per cui non ho capito se e' arrivato o no e lo mando anche qui
  dove ogni tanto Adriano scrive.

  Ciao, Valter



  Valter Moretti wrote:
>

>
> Ciao, abbiamo trovato ancora un'altra dimostrazione (che mi pare ricalchi una vecchia
> dimostrazione di Weyl)
...
> Quando ho un po' di tempo te la posto...
>
> Ciao, Valter


   Ecco qui nella forma piu' sintetica possibile senza usare "quasi nulla".

   Prendi R^2n e mettici la forma simplettica solita nelle coordinate
   canoniche q^1,...q^n, p_1,...,p_n, indotta dalla matrice che tu indicavi
   con I.

   Considera poi che tale forma simplettica I la puoi vedere come una 2-forma
   w = dq^k ^ dp_k
   dove e' sottointesa la somma sull'indice k da 1 a n e ^ in mezzo
   indica il prodotto delle forme "V rovesciato"


   Ora prendi f : R^2n -> R^2n LINEARE che conservi la forma simplettica, cioe' sia
   una matrice di in Sp(n,R). Varra' allora

   f^* w = w (1)

   dove f^* e' il pull-back di f sulle 2-forme (l'azione di f estesa alle forme nel modo
   piu' ovvio).
   Considera ancora la forma di grado massimale (perche' e' prodotto di tante 1-forme quanto e'
   la dimensione della varieta', per cui facendo un ulteriore prodotto per qualunque ulteriore
   forma si ottiene 0 per antisimmetria)

   U := w ^ w ^ ... ^ w dove il prodotto e' preso n volte (ma le w sono 2-forme!),

   con un po' di fatica provi che U e' essenzialmente la forma di volume della varieta':

   U = C dq^1 ^ ... ^ dq^n ^ dp_1 ^ ... ^ dp_n

   dove, se non ho sbagliato i conti, C= (-1)^{n(n-1)/2} / n!, o forse quello e' 1/C, ma non
   e' importante.

   Dalla (1) hai che, a meno dell'inessenziale fattore C:


   f^* U = f^*w ^ f^*w ^ ... ^f^*w = w ^ w ^ ... ^ w = U (2)

   Cioe' la forma di volume e' invariante sotto f se f e' simplettica.
   D'altra parte come e' ben noto, trasformando le forma differenziali di grado massimo
   su una qualsiasi varieta' differenziabile sotto un diffeomorfismo f qualsiasi, si ha
 
   f^*(dq^1 ^ ... ^ dq^n ^ dp_1 ^ ... ^ dp_n) = (det J(f)) dq^1 ^ ... ^ dq^n ^ dp_1 ^ ... ^ dp_n


   dove det J(f) e' il determinante della matrice Jacobiana di f, ora pero' e' f stessa essendo
   ora f lineare per ipotesi.
   Quindi abbiamo che deve essere:

   f^* U = (det f) U (3).


   Da (2) e (3) insieme si evince, ricordando che f e'una matrice di Sp(n,R):

   " Se f e' in Sp(n,R) => det f = 1"

   QED


   Lo so e' molto tecnica e se non mastichi un po' di forme differenziali
   ti sembrera' difficilissima. Mi dispiace, piu' di questo non riesco
   a semplificare...

   Ciao, Valter
Received on Fri Sep 15 2000 - 00:00:00 CEST