Re: Esercizio di meccanica

From: Andrea Artesiani <overman_at_libero.it>
Date: 5 Sep 2000 11:25:03 +0200

"Nicola" <felix77_at_edisons.it> scritto nell'articolo
<002801c015c0$b2ca9960$3ae0fea9_at_LocalHost>...
>
> Salve
>
> come posso risolvere questo esercizio:
>
> ******
> Un'asta sottile di lunghezza L=1 m e massa M=10 kg, ha una densit�
crescente
> linearmente tale che la densit� in B ( un estremo) � tripla rispetto a
> quella in A (l'altro estremo). L'asta � appesa per l'estremo A (per
> intenderci quello pi� leggero) in un piano verticale e, mentre si trova
in
> posizione di equilibrio, viene colpita nell'estremo libero B con un
impulso
> J. Dopo aver calcolato il momento d'inerzia dell'asta, si ricavi il
valore
> di J sapendo che l'asta esegue dopo l'urto un mezzo giro, arrestandosi in
> posizione verticale con l'estremo B (quello pi� pesante) verso l'alto.
>
> *******
[...]
Cominciamo col trovare i valori pi� importanti:
1) l'espressione della densit�
2) la posizione del baricentro rispetto ad A
3) il momento di inerzia rispetto ad A.

1) la densit� cresce linearmente per cui ro(l)=c1*l+c2
se scegliamo l'asse in modo che A corrisponda a l=0 e B a l=1m
troviamo subito: ro(l)=(roB-roA)*l+roA
essendo roB=3roA => ro(l)=2roA*l+roA
imponendo che:
1
S ro(l)*dl=M => roA=5 kg/m => ro(l)=10*l+5
0

2) troviamo anche (G-A):
        1
(G-A) = S ro(l)*l*dl /M= 7/12 m
        0


3) nota la densit� troviamo I rispetto ad A:
   1
Ia=S ro(l)*l^2*dl = 25/6 kg*m^2
   0

Tramite la 2� eq. card. con polo in A abbiamo:

Ia*dw/dt=Ma [Ma=momento delle forze esterne rispetto ad A]

essendo Ma=F*L [momento=forza x braccio]
e J=SF*dt [impulso=integrale della forza nel tempo]
=> F=dJ/dt => Ma=dJ/dt * L
e la 2� eq. diventa:
Ia*dw/dt=dJ/dt * L => Ia*w=J*L => J=Ia*w/L

ci manca solo w; con la conservazione dell'energia e il t. di Konig
troviamo:

To=1/2*Ia*wo^2
Tf=0
deltaV=M*g*(hGf-hGo)=m*g*7/6
essendo To-Tf=deltaV troviamo prima wo, poi J:
wo=2*sqrt(35*g)/5
J=Ia*wo/L=5*sqrt(35*g)/3


Salvo errori di calcolo dovrebbe andare, no?
Ciao
Andrea
Received on Tue Sep 05 2000 - 11:25:03 CEST