"Io Noi" ha scritto:
> Premesso che sono un dilettante della fisica, mi chiedo: cos'è il
> raggio di curvatura di una curva?
> E' il raggio della circonferenza che approssima la curva in un
> tratto di lunghezza tendente a zero.
> Nello spazio 2d sarà una sfera che approssima la curvatura del piano.
> Nello spazio 3d sarà una ipersfera 4d che approssima ....
Quelle che poni sono questioni matematiche, che è perfettamente
possibile spiegare con mezzi elementari, ma non è facile farlo in
poche parole.
Il punto centrale è imparare a distinguere tra curvatura "intrinseca"
ed "estrinseca".
Un'esposizione piuttosto ampia la trovi nel sito segnalato da Roberto:
https://www.paololazzarini.it/geometria_sulla_sfera/geo.htm
anche se purtroppo lo trovo manchevole proprio nel punto che più
interessa per la RG.
Cerco di supplire un po', ma non è facile per le limitazioni di questo
ambiente.
Cominciamo dalla prima frase che ho citato.
Parli del raggio di curvatura di una curva. Bene questa non interessa,
perché è una curvatura estrinseca.
Mi spiego: prendi un filo (praticamente inestensibile) e poggialo su
un tavolo (piano).
Questo puoi farlo in molti modi:
- puoi stenderlo tirato tra le mani (retta: curvatura nulla)
- puoi stenderlo ad arco (circonferenza: raggio di curvatura quello
che vuoi
- puoi disporlo a mo' di serpente (curvatura variabile lungo il filo,
tra zero e un massimo nei due versi di concavità).
Questi esempi illustrano il fatto che *una curva non ha curvatura
intrinseca, ma solo estrinseca*.
Poi tu passi a una superficie, e scrivi
> Nello spazio 2d sarà una sfera che approssima la curvatura del piano.
Questo è alquanto confuso. Dovevi dire che stai studiando una
superficie (una sfera o altro, v. il link che dato sopra) in un
ambiente 3D.
Una sfera ha un solo raggio di curvatura, che è lo stesso in tutti i
suoi punti.
Le cose si complicano se pensi a una superficie diversa: un cilindro,
un ellissoide, un toro, ma anche una superficie meno regolare, diciamo
una patata.
In questo caso succedono due cose:
a) Può darsi che la superficie non sia *omogenea*, e allora la
curvatura varia da punto a punto. Tra gli esempi che ho dato, a parte
la sfera la sola sup. omogenea è il cilindro circolare.
b) Anche in un dato punto, non te la puoi cavare con una sola
curvatura: ne occorrono due. Per maggiori dettagli ti rimando a
Lazzarini.
Credo che la definizione di curvature principali ecc. sia dovuta a
Eulero, più di 200 anni fa.
Ma siamo sempre nell'ambito delle curvature *estrinseche*: la
superficie viene studiata mediante misure fatte nello spazio 3D.
Il passo successivo, per noi fondamentale, lo fa Gauss, quasi
esattamente 200 anni fa.
La prima osservazione è che tra gli esempi di superfici che ho dato
sopra solo il cilindro è *sviluppabile* in un piano. O inversamente,
si può prendere un foglio piano e avvolgerlo in forma di cilindro,
senza stirarlo né piegarlo in alcun modo (si può anche avvolgerlo a
forma di *cono*).
Si scopre che le superfici sviluppabili sono tutte e sole quelle che
hanno nulla una delle curvature principali, e quindi anche nulla
k=1/(r1*r2).
Questa si chiama anche "curvatura gaussiana", e la ragione del nome
sta nel "theorema egregium" di Gauss:
"a differenza delle curvature principali, che sono estrinseche, la
curvatura gaussiana può essere calcolata con sole misure *sulla
superficie*, senza far intervenire lo spazio 3D in cui è immersa"
In una parola, la curvatura gaussiana è *intrinseca*.
Una conseguenza è che
- due superfici che possano essere deformate l'una nell'altra senza
stiramenti o sovrapposizioni (si dice "isometriche") hanno punto per
punto la stessa curvatura gaussiana.
(Nota che l'inversa non è vera: esiste almeno un controesempio, che
trovi dappertutto, di due superfici che hanno la stessa curvatura
gaussiana ma *non sono* isometriche.)
Forse 20 anni dopo arriva Riemann. Mentre Gauss si era occupato solo
di superfici (2D) immerse nel comune spazio euclideo 3D, Riemann
immagina spazi euclidei a qualsiasi numero di dimensioni, e in essi
"superfici" di qualunque numero di dimensioni.
Scopre che se la "superficie" ha un numero di dimensioni n>2, non
basta una sola curvatura per descriverne le proprietà intrinseche: ce
ne vogliono n^2(n^2-1)/12: 6 per n=3, 20 per n=4. L'insieme di queste
curvature prende il nome di "tensore di Riemann". Il caso n=4 è
importante perché è quello dello spazio-tempo.
In realtà Riemann fa un altro passo essenziale: scopre che si possono
descrivere tutte le proprietà intrinseche di quelle che oggi si
chiamano "varietà riemaniane" senza bisogno di tirare in ballo un
eventuale spazio euclideo in cui sono immerse.
Ci si può chiedere: è sempre possibile immergere una varietà
riemanniana in uno spazio euclideo con più dimensioni?
La risposta affermativa è arrivata molto più di recente, a metà del
secolo scorso e oltre, con dei teoremi di Nash e altri.
Ma siccome ne so troppo poco, anzi non ho affatto le idee chiare, non
vado oltre.
Mi limito solo a osservare che il tema dell'immersione è
*esclusivamente matematico*. Il fatto che uno spazio-tempo possa
essere immerso in uno spazio (pseudo)euclideo a numero maggiore di
dimensioni non implica in alcun modo che queste dimensioni abbiano
esistenza fisica.
Conviene invece tornare alla fisica vera e propria, anche per
dissipare eventuali equivoci.
Lo spazio-tempo è una varietà a 4 dimensioni, quindi il tensore di
Riemann ha 20 componenti indipendenti.
In certi casi ci si può restringere a meno dimensioni, per es. 2, come
negli esempi che hai visto, dove le coordinate sono t e z.
Con questa restrizione siamo tornati a una varietà 2D, dove una sola
curvatura (intrinseca) basta.
Però già per studiare gli effetti della gravità della Terra non ci si
può limitare a questo: nell'ascensore in caduta libera possiamo
studiare le due palline posta una sopra l'altra e scoprire che si
allontanano (curvatura negativa), ma possiamo anche guardare due
palline affiancate alla stessa altezza, e in quel caso scopriamo che si
avvicinano.
Dunque mentre la curvatura nella sezione (z,t) è negativa, quella
nella sezione (x,t) (o anche (y,t)) è positiva, ed è la metà in valore
assoluto.
Perciò dire che lo spazio-tempo è iperbolico (curvatura negativa) è
sbagliato.
> Una curvatura di raggio 1.7 x 10^11 m (170 miliardi di km!!) è ben
> poca cosa per la luce, ma per noi umani è sufficiente a tenerci
> attaccati alla superficie terrestre.
Per cominciare, sono 170 *milioni* di km, non miliardi.
Poi, attento a non confondere la curvatura dello spazio-tempo con la
curvatura di un raggio di luce!
Primo: è diverso il concetto: la prima (più esattamente "le prime") è
*intrinseca*, la seconda (come la curvatura di qualsiasi linea 1D) è
estrinseca.
Secondo: è molto diverso il valore.
Un raggio di luce deflesso dalla gravità terrestre, nel punto più
vicino alla Terra ha un raggio di curvatura di circa 10^16 m.
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Elio Fabri
Received on Thu Sep 29 2022 - 14:30:13 CEST