Re: Avrei un problemuccio ...

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/08/30

ele wrote:
>
> >No c`e` un segno sbagliato da qualche parte. Con l`equazione
> >differenziale che hai scritto hai soluzioni esponenziali reali e
> >non oscillatorie. ..e il sistema sarebbe instabile, mentre
> >sappiamo che non lo e` per verifica sperimentale!
>
> non ne sono cos� sicura, dato che tieni conto che non � come un oscillatore
> armonico, perch� la "forza di richiamo" (che quin � una forza di spinta ) in
> realt� c'� da una parte sola...e non da entrambi i lati rispetto alla
> posizione di equilibrio...comunque ammettiamo pure che tu abbia ragione e
> andiamo avanti...
>

Ciao, hai ragione sull'ultimo punto: la forza dell'acqua e' solo
repulsiva e non puo' attrarre il corpo (vedi in fondo), ma credo che
il tuo segno sia sbagliato comunque perche' produce soluzioni esponenziali
che non ci sono proprio quando hai delle "forze di richiamo".


> >Rifaccio tutto perche` non capisco le tue convenzioni dei segni.
> >Sia X l`altezza del cubo rispetto al pelo dell`acqua.
>
> >La posizione del baricentro e`
>
> >x - L + L/2 = x- L/2
>
> scusa ma adesso sono io che non capisco la tua convenzione...
>
> X � l'altezza del cubo rispetto all'acqua quando il cubo si trova come ?

Forse mi sono spiegato male: X e' la quota a cui si trova la faccia
superiore del cubo rispetto al pelo dell'acqua.


>
> Come fai a non capire quando scrivo che
> ho preso come riferimento x = 0 la posizione del baricentro all'equilibrio
> :
> si trova L / 6 sotto il pelo dell'acqua. ?

Questo l'ho capito! Non ho capito il segno sbagliato che compariva alla fine
allora sono ripartito da zero perche' avevo poco tempo e sapevo che avrei fatto
prima cosi' in quella situazione.


>
> Immagina il cubo nella posizione di equilibrio, cio� di galleggiamento:
> 2/3 L sono sotto il pelo dell'acqua e L/3 fuori.
> Il baricentro � a met� del cubo, quindi L/2.
> Allora se prendi x = 0 in corrispondenza del baricentro,
> basta fare L/2 - L/3 = L/6
> questa � la distanza tra il baricentro e l'acqua.
>
> In che verso hai preso l'asse x ? io l'ho immaginato puntato verso il basso
> (dentro l'acqua). Forse � questo che fa cambiare i segni ?

Si lo avevo sospettato che tu avessi messo x verso il basso, ma non capivo
lo stesso il segno sbagliato. Io l'ho messo verso l'alto
verso l'alto, ma non e' quello che cambia i segni, il segno di
cui parliamo e' un segno relativo che non cambia cambiando l'orientamento
dell'asse.


>
> Mi sa di s�...
> e pensandoci meglio forse ora ho capito cosa intendi con
>
> >Sia X l`altezza del cubo rispetto al pelo dell`acqua.
> >La forza sul baricentro e` allora data da
> >
> >- mg + r L^2 g (L-x)
>
> cio� dici che x � la lunghezza di cubo che sta fuori dall'acqua rispetto al
> pelo...

SI!


> ma allora se hai ragione a dire che
>

> >La posizione del baricentro e`
> >
> >x - L + L/2 = x- L/2
>
> perch� scrivi che
>
> >si ha allora l`equazione, tenendo conto che l/2 e` costante
> >
> >m x`` = - mg + kL - kx
> >
> >dove k := rL^2g
>
> ?
> Intendevi forse
>
> m x`` = - mg + k(L/2 - x) ???
>
> altrimenti non � pi� l'equazione del baricentro !!
>

Ti spiego, nella fretta non mi sono spiegato per niente.
La forza totale*sul baricentro e' - mg + kL - kx
dove x e' definito come l'altezza della parte emersa del cubo
dal pelo dell'acqua, con asse x verso l'alto e origine al pelo
dell'acqua. Infatti: la parte immersa, *quella sola su cui agisce la
spinta di Archimede* e' profonda (L-x) => la forza proporzionale a
L-x *diretta verso l'alto*. OK?
Ora il centro di massa differisce da x per una costante sommata a x,
quindi la derivata nel tempo di x o di (x+c) dove c e' una costante
qualsiasi e' la stessa! Quindi al primo membro dell'equazione

m x`` = - mg + kL - kx (*)

puoi meztterci invece della derivata seconda di x la derivata
della x del centro di massa ma alla fine hai lo stesso risultato.
OK?


Veniamo al problema che giustamente sollevi all'inizio sulla forza
di Archimede che e' solo repulsiva, ma non puo' tirare in basso
il cubo. E' vero! Hai perfettamente ragione pero' secondo me se le
oscillazioni sono piccole come credevo che fosse nell'esempio
considerato, il risultato che ho dato e' giusto lo stesso.

Nella realta' (o meglio, pensando ad un modello piu' *realistico*)
bisognerebbe fare cosi'. Ammettendo che il blocco sia inizialmente
compresso (cioe' a t=0 e' piu' immerso di quanto il pricipio
di Archimede consenta) e con velocita' iniziale nulla e quindi lasciato
libero di oscillare, si deve usare la (*) dall'istante iniziale fino
a quando la spinta di archimede non si nulla, ossia fino a quando L-x = 0.

Da quel momento in poi, l'equazione da usare e', con le condizioni iniziali
date da x=L e dalla velocita' raggiunta in quell'istante:

m x`` = - mg

e questo fino a quando il blocco non tocca nuovamente l'acqua (alla fine
deve farlo perche' la forza di gravita' , l'unica presente tira verso
l'acqua), cioe' fino a quando non si ha nuovamente x = L.
da quel momento in poi e con le condizioni iniziali
corrispondenti, si deve usare nuovamente la (*) e cosi' via.

In realta' bisognerebbe spiegare cosa succede nell'urto con l'acqua
e le cose non sono davvero cosi' banali!

Pero' se le oscillazioni ottenute dal primo uso di (*) sono tali che
nel punto massimo di x valga x< L, allora l'unica equazione da usare e'
la (*) come ho fatto io. Presupponevo cio' perche' altrimenti
il problema sarebbe stato troppo difficile (urto con l'acqua?) ma per
la verita'non ho controllato e tu hai fatto bene a porre
l'accento sulla questione!


Spero che sia piu' chiaro ora e mi scuso, ma ho scritto l'altro messaggio
pochi minuti prima di andare via e l'ho fatto di corsa senza molte spiegazioni.

Ciao, Valter
Received on Wed Aug 30 2000 - 00:00:00 CEST