Re: Avrei un problemuccio ...

From: Andrea Artesiani <overman_at_libero.it>
Date: 2000/08/29

"Bart S." <elbarto77_at_hotmail.com> scritto nell'articolo
<OE15v0F3wY21Ib4cj3u00000019_at_hotmail.com>...
>
> Salve, mi potete aiutare a risolvere questo esercizio???
>

>Un blocco di legno a forma di cubo di lato L galleggia sull'acqua di una
>grande piscina e la parte emergente della piscina � pari ad un terzo
>dell'altezza del cubo. Si determini la densit� del legno.

Basta porre: Farch=mg => (rho acqua)*2/3*V*g=(rho legno)*V*g
e si trova rho legno=2/3*rho acqua

>Si supponga quindi di spingere verso il basso il cubo finch� la sua
>superficie superiore coincida con il pelo libero dell'acqua, e di lasciare
>quindi il cubo libero di muoversi. Si determini, trascurando ogni attrito,
>l'equazione del moto del cubo e la si risolva ottenendo l'equazione oraria
>del moto, tenendo presenti le specificate condizioni iniziali.

chiamiamo x l'altezza emersa, per cui x(0)=0 e x'(0)=0
l'eq. diff. si trova a partire da x''=(Farch-mg)/m
abbiamo quindi (sia ro=rho acqua)
x''= (ro*Vimmerso)*g/m -g
x''= (ro*(L^3-x*L^2))*g/m -g
x''= -ro*L^2*x*g/m -g +(ro*L^3)*g/m
che � un moto armonico di equazione (saltando tutti i passaggi):
x=(L -m/(ro*L^2))*[1+cos(sqrt(ro*g/m)*L*t+pi)]
x=(L/3)*[1+cos(sqrt(3*g/(2*L))*t+pi)]

>Si illustri quindi a quale altezza massima sopra il livello dell'acqua
>arriver� il cubo durante il moto.

L'altezza massima � dove il coseno vale 1: x=2*L/3

>Si poteva ottenere lo stesso risultato da
>considerazioni energetiche, invece di risolvere l'equazioni del moto?
>Spiegare.

Con la conservazione dell'energia, o col teorema delle forze vive.
Si trova che il lavoro della forza di Archimede � uguale e opposto
a quello della gravit�, ma la Farch � una forza elastica
pi� una costante: Farch= ro*L^3*g-ro*x*L^2*g
il cui potenziale vale Uarch=-ro*L^3*g*x + 1/2*ro*L^2*g*x^2
allora abbiamo
deltaUarch=-deltaUgrav
-ro*L^3*g*x + 1/2*ro*L^2*g*x^2 = -mg*x
le cui soluzioni sono x=0 (giusto, � la posizione iniziale in cui nessuno
ha ancora compiuto lavoro)
e x=2/3*L che � quella che vogliamo.

Ciao
Andrea
Received on Tue Aug 29 2000 - 00:00:00 CEST