Michele Andreoli ha scritto:
> So che si può derivare la forza di Lorentz assumendo che
> l'interazione cariche-campi venga introdotta mediante l'accoppiamento
> minimale, compatibile con l'invarianza di gauge: p->p-q/c*A, dove
> p=impulso, A=potenziale vettore.
>
> So anche che, se si calcola l'energia contenuta in un condensatore
> ...
> La mia domanda dunque è: perché occorre ricorrere a cose tipo
> l'invarianza di gauge per tirar fuori la forza di Lorentz dalle
> equazioni di Maxwell, quando già il semplice condensatore, più
> l'espressione della densità di energia elettrica u, danno già una
> risposta che è quasi quella giusta?
JTS ha scritto:
> 1) La forza di Lorentz è la definizione del campo. Questo secondo me
> implica che le derivazioni della forza di Lorentz dalle equazioni di
> Maxwell non sono tali, perché ipotizzano proprietà delle equazioni
> che sono vere solo perché la forza ha la forma di Lorentz.
>
> 2) A naso, l'accoppiamento minimo è valido perché dà le equazioni del
> moto corrette, quindi si basa sulla definizione di campo
>
> 3) [...] l'espressione dell'energia del campo e.m. si ottiene
> utilizzando il lavoro del campo elettromagnetico sulle cariche, e
> quindi di nuovo dipende dalla definizione di campo.
Il problema che state discutendo è sommamente intricato, a causa della
sua antichità e delle molteplici forme che ha assunto col passare del
tempo e a seconda del contesto in cui lo si discute.
Per brevi cenni:
- La cosiddetta "forza di Lorentz" compare già nel "Treatise" di
Maxwell, almeno vent'anni prima che Lorentz intraprendesse il suo
programma di ricostruire elettromagnetismo e struttura della materia a
partire dalla scoperta dell'elettrone.
Naturalmente siamo nell'ambito della fisica classica (non quantistica
e non relativistica).
- Il tensore energia-impulso nasce ovviamente con la formulazione
relativistica dell'elettromagnetismo. Non so dire la data, ma
azzarderei anni 20 del secolo scorso, inizialmente indip. dalla m.q.
Però la parte spaziale, ossia il "tensore di Maxwell", esiste già in
Maxwell.
- La formulazione variazionale, quindi l'espressione della densità
lagrangiana, penso sia pure dei primi decenni del secolo scorso. Non
saprei se sia nata come teoria classica e sia poi stata applicata alla
QFT, o viceversa sia nata nella QFT e si sia poi visto che poteva
essere usata anche nell'e.m. classico.
- Il "minimal coupling" va visto nell'ambito delle teorie di gauge,
quindi è più recente: almeno seconda metà del secolo scorso.
Questo panorama storico, frammentario e forse anche in parte
sbagliato, aveva lo scopo di fissare un punto: non ha senso la
discussione se non si fissa il paradigma nel quale ci si vuol muovere:
- classico (prerelativistico o relativistico)
- quantistico ante teoria dei campi
- QFT ante teoria di gauge
- infine quadro dell'attuale modello standard.
A me pare che sia più utile semplificare al massimo, quindi presento
la situazione come la si vede restando a Maxwell più formulazione
variazionale della teoria.
Intendo teoria dell'e.m. in presenza di sorgenti.
Di passaggio: qualche tempo fa ho fatto il lavoro di fornire una
versione leggibile del cap. 9 della parte IV del "Treatise" di
Maxwell. La trovate in
http://www.sagredo.eu/varie/treatise-2-IV-9.pdf
Scrivo la densità lagrangiana del campo e.m. in presenza di sorgenti
(forma non covariante a vista)
L = (1/2)(E^2 - B^2) - rho*phi + j.A
Il primo termine è la lagrangiana del campo e.m. libero, gli altri due
termini danno l'interazione con le sorgenti.
E' inteso che B = rot A e E = -_at_A/_at_t - grad phi.
Variando l'integrale di azione rispetto ad A, phi si ottengono le eq.
di Maxwell *con le sorgenti rho, j*.
Se si aggiunge a L la lagrangiana della materia (per es. in forma di
particelle), variando rispetto alle coord. delle particelle si
ottengono le eq. del moto di queste, e nelle equazioni *è presente la
forza di Lorentz*.
La cosa notevole è che il termine d'interazione j.A - rho*phi fornisce
*da solo* sia i termini di sorgenti nelle eq. di Maxwell sia la forza
di Lorentz sulle cariche.
--
Elio Fabri
Received on Fri Oct 07 2022 - 12:22:13 CEST