Elena wrote:
>
>
> Siccome sei stato cos� "divulgativo" ti lancio una
> sfida... sei capace di essere altrettanto chiaro e
> riassumere in poche righe gli assiomi (� la parola
> giusta ???) della MQ da cui si deduce che il
> teorema di heisnberg � appunto un teorema ?
> se mi stai tirando degli accidenti...sei
> scusato..:-)) lo so che la domanda � da quiz
> ciao
>
Ciao, vabbe' oggi fa tanto caldo che e' difficile lavorare.
Pero' non saro' tanto divulgativo...perche' l'argomento
non lo consente molto. I postulati seguenti sono
un riadattamento personale di alcuni dei postulati della
MQ elementare fatta in spazi di Hilbert. Altre versioni si
trovano sul libro di Caldirola e C. gia' citato e su altri
testi (es. "Quantum Mechanics in Hilbert Spaces" di
Prugovecki)
I) Ad ogni sistema fisico e' associato uno spazio di Hilbert
sul corpo complesso, separabile (K , < | >) (< | > indica il
prodotto scalare).
Gli stati (puri) del sistema sono associati a vettori
non nulli di K, in modo tale che due vettori che differiscono
per un fattore non nullo corrispondono allo stesso stato.
-------------------
II) Ad ogni grandezza osservabile A' sul sistema corrisponde
un operatore autoaggiunto A definito su una varieta' lineare
densa in K, D(A), a valori in K.
La corrispondenza e' tale che:
1) i valori possibili della misura di A' sul sistema sono
gli elementi dello spettro di A;
2) considerata la misura spettrale associata ad A, {P_E},
dove P_E e' un proiettore ortogonale sul sottospazio (chiuso)
associato all'insieme boreliano E contenuto nello spettro
di A, s(A), la probabilita' che il sistema nello stato
f (vettore di K normalizzato a 1) dia come risultato della
misura di A' un valore in E e':
<Pf |Pf > = <f |Pf >.
3) Immediatamente dopo la misura con risultato in E,
lo stato del sistema e' rappresentato dal vettore
f' = Pf (da normalizzare a 1)
--------------
III) Osservabili compatibili A', B' corrispondono a
operatori autoaggiunti A, B "commutanti", cioe' tali
che valga una delle due seguenti proprieta' equivalenti:
1) i gruppi unitari ad un parametro exp{iaA}, exp{ibB}
generati dalle osservabili commutano per tutti
i valori (reali) dei parametri a,b.
2) i proiettori delle misure spettrali di A e B commutano
--------------
NOTA: se due osservabili A', B' sono compatibili ed esiste
un insieme di vettori S in K tale che sono definiti
A(B f) e B(A f) per f in S, allora AB - BA = 0 su S
ovvero [A,B] = 0 su S. Se A e B non sono limitati
(ed e' questo il 99% dei casi in MQ) S non e' K e
nemmeno, in generale, una varieta' lineare densa in K,
per cui e' impreciso dire che A' e B' sono compatibili
se e solo se A e B hanno commutatore nullo...
IV) Gli stati f in K evolvono nel tempo come
f(t) = exp{-itH}f,
dove l'operatore autoaggiunto H
corrisponde all'osservabile hamiltoniana del sistema.
---------
NOTA: se e solo se f e' nel dominio di H che pero' non e'
tutto K a meno che H non sia limitato (quasi mai!)
allora il teorema di Stone applicato all'esperssione di
sopra implica l'equazione di Schroedinger (dove la
derivata in t e' nel senso della norma di K)
i df(t)/dt = H f(t) (*)
(ho posto ovunque la costante di Planck tagliata uguale a 1)
Piu' in generale se H dipende dal tempo, si puo' postulare
che valga ancora la (*) con H = H(t), tuttavia la questione
non e' banale dal punto di vista matematico e non me ne
occupo qui.
Gli assiomi successivi specificano come sono fatte le
osservabili fondamentali a seconda del sistema fisico.
Mi occupero' della particella elementare senza spin
unicamente.
V) Lo spazio K di una particella di massa m senza spin
e' isomorfo a L^2(R^3) in cui, fissato un riferimento inerziale
ed in esso una terna ortonormale destrorsa:
1) l'osservabile X_i corrispondente alla coordinata i-esima
della particella e' l'operatore che moltiplica per x_i
(coordinata i-esima del vettore posizione X) i vettori
di L^2(R^3), con dominio ovvio in modo che sia X_i f
ancora in L^2(R^3).
2) l'osservabile P_k corrispondente alla componente k-esima
dell'impulso e' l'operatore che applica -i D_k, dove
D_k e' la derivata parziale k-esima sulle funzioni di L^2(R^3)
ed il dominio e' dato dalle funzioni che ammettono tale
derivata quasi ovunque in L^2(R^3).
-----------
NOTA: non e' ovvio che gli operatori di sopra siano autoaggiunti,
ma lo sono sui domini detti.
Seguirebbe un assioma che spiega come e' fatto in termini
di P e X l'operatore hamiltoniano, questo e' molto piu'
tecnico e lo ometto perche' per il principio di Heisenberg
sono sufficienti gli assiomi che ho dato.
In base agli assiomi dati si vede che se A' e' un osservabile,
f e' un vettore normalizzato a 1 che appartiene al dominio di A,
allora il valore medio dei risultati della misura di A sullo
stato f e'
<A'>_f = <f| Af>
La varianza al quadrato e' invece, se f e' anche nel dominio di
A^2 = A A:
(DA_f )^2= <f |(<A'>_f - A)^2 f >
Prendiamo due osservabili A e B in modo tale che esista
una varieta' lineare S invariante per A e B insieme (ossia S
e' nei domini degli operatori ed in piu' A(S) e B(S) sono
contenuti in S) allora tutti i vettori
del tipo ABf Af Bf ecc sono ben definiti se f e' in S.
Orbene vale sotto tali ipotesi, se f e' in s
DA_f DB_f > o uguale |<f | [A,B] f> | /2 (**)
dove || indica il modulo e [A,B] = AB - BA, riporto piu'
sotto la dimostrazione.
Se prendiamo l'osservabile impulso k-esimo e l'osservabile
posizione k-esima e S lo prendiamo come lo spazio
delle funzioni infinitamente differenziabili a decrescenza rapida
(che e' anche denso in K), allora trovaimo che (ometto l'indice k)
[X, P] = 1
(in unita' fisiche 1 = costante di Planck/ 2pi). Inserendo in
(**) si ha il teorema Principio di Heisenberg
DX_f DP_f > o uguale a costante di Planck / 4pi
DEDUZIONE DELLA (**) (>= significa maggiore o ugule
DA DB = ||(A- <A>)f || ||(B- <B>)f || >=
| < (A- <A>)f |(B- <B>)f >| >=
|Im < (A- <A>)f |(B- <B>)f >|=
(1/2) | < (A- <A>)f |(B- <B>)f > - < (B- <B>)f|(A- <A>)f >| =
(1/2) |<f | [A,B] f> |
Lo so: non ci avete capito nulla, e' troppo tecnico vero??
Mi dispiace, ma piu' di tanto io non sono capace a fare.
Ciao, Valter
Received on Wed Aug 23 2000 - 00:00:00 CEST