caduta dei gravi

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Date: 2000/08/16

Su sollecitazione di un amico ho cercato di calcolare esattamente
l'accelerazione iniziale di due gravi diversi che cadono sulla terra,
misurata in relazione alla velocita' di avvicinamento tra il grave e il
suolo. Riporto qui di seguito il ragionamento e i calcoli, cheidendo a
chi ne ha voglia di controllarne l'esattezza.
ovviamente e' un calcolo in cui non si tiene conto di moltissimi fattori
presenti in realta', le ipotesi comunque dovrebbero risultare evidenti
(assenza di attriti, terra considerata ferma ecc. ecc.).

N.B. Il calcolo dell'accelerazione della Terra puo' essere impreciso
dato che non sono sicuro di aver tradotto correttamente i chilogrammi in
newton.
Vale comunque la proporzione stabilita tra i due casi.
Ricordiamo per cominciare che secondo la legge della gravitazione
universale di Newton due qualsiasi corpi di massa m1 ed m2 (considerati
puntiformi) si attirano reciprocamente con una forza direttamente
proporzionale alle masse stesse ed inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza (r), cioe'

F = G * m1 * m2 / r^2.

G e' la costante di gravitazione universale e vale 6,67 * 10^-11
N*m^2/Kg^2.

Consideriamo due corpi alla stessa distanza dalla Terra.
Sia M la massa della Terra, M1 la massa del primo corpo ed M2 la massa
del secondo corpo.
M = 5,97 * 10^24 Kg.
Poniamo M1 = 10 Kg, M2 = 11 Kg.
La forza di attrazione tra M1 ed M vale quindi F(M1,M) = 10 Kg, cioe'
98,1 N.
La forza di attrazione tra M2 ed M vale quindi F(M2,M) = 11 Kg, cioe'
108 N.

L'accelerazione impressa ad M1 ed M2 nell'istante considerato quindi
vale:
a(M1) = 98,1/10 = 9,81 m/sec^2
a(M2) = 108/11 = 9,81 m/sec^2

Se per semplificare il calcolo consideriamo di svolgere i due
esperimenti in tempi diversi, abbiamo che l'accelerazione impressa alla
Terra per l'azione attrattiva di M1 vale:
a(M(M1)) = (10/11)*a(M(M2)).

Esattamente, l'accelerazione di M sotto l'effetto di M1 sara'

a(M(M1)) = 98,1/(5,97*10^24) = 1,64*10^-23 m/sec^2

mentre l'accelerazione di M sotto l'effetto di M2 sara'

a(M(M2)) = 108/(5,97*10^24) = 1,81*10^-23 m/sec^2

Questo significa che la velocita' di avvicinamento tra M ed M1 sara'
minore della velocita' di avvicinamento tra M ed M2.

Ripetendo il calcolo a partire dalla legge di gravitazione, considerando
i due corpi a livello del suolo, (la distanza r vale quanto il raggio
terrestre, cioe' 6,37 * 10^6 m), si ottiene:

F(M,M1)= 6,67*10^-11 * 5,97*10^24 * 10 / (6,37*10^6)^2 = 98,1 N

e

F(M,M2)= 6,67*10^-11 * 5,97*10^24 * 11 / (6,37*10^6)^2 = 108 N.

Le accelerazioni risultano quindi come nel calcolo precedente.

L'unica possibilita' di ottenere la caduta perfettamente simultanea di
due gravi di peso diverso su un pianeta e' di realizzare i due gravi
come corpi concentrici (per esempio, una semisfera cava al cui interno
viene tenuta sospesa una sfera di peso diverso, con i baricentri
coincidenti). In questo caso infatti le due forze di attrazione (quella
tra M ed M1 e quella tra M ed M2) si sovrappongono e quindi la Terra
accelera allo stesso modo verso i baricentri dei due corpi. Percio' i
due baricentri cadranno simultaneamente, anche se naturalmente la
semisfera tocchera' il terreno per prima.

--
Federico Span�
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"Tutti conosciamo la stessa verita'; la nostra vita e' come scegliamo di
distorcerla"
(Woody Allen)
Received on Wed Aug 16 2000 - 00:00:00 CEST

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