Re: Date un'occhiata a questo problema di meccanica

From: Sir Launcelot <SirLauncelot_at_tiscalinet.it>
Date: 2000/08/17

> Io l'ho risolto ma mi viene solo una soluzione (50m), mentre me ne
> dovrebbero venire 3 (30m, 50m, 72m)
> Questo e' il testo:
> 2 ragazzi si allenano in piscina: si tuffano insieme dagli estremi opposti
> della vasca e procedono a elocita' costante; giunti in fondo invertono il
> percorso e continuano a nuotare, ciascuno sempre con la propria velocita'
> iniziale.
> Il primo incontro dei 2 avviene a 22 metri dall'estremo sud della vasca e
il
> secondo incontro a 16 metri dall'estremo nord.
> Quanto puo' essere lunga la vasca?

Avevi gi� postato questo problema qualche mese fa ed io ti avevo risposto.
Forse allora non ho saputo spiegare chiaramente il procedimento...
Sicuramente il procedimento era un po' macchinoso... Ci riprovo.

> Detta v1 la velocita' del nuotare che inizia da sud, v2 la velocita' del
> nuotatore che inizia da nord, t1 il tempo trascorso dall'inizio del moto
dei
> 2 nuotatori al loro primo incontro, t2 il tempo trascorso dall'inizio del
> moto al secondo incontro,
> h=22m , d=16m, L la lunghezza della piscina
> Ho scritto le equazioni del moto dei 2 nuotatori
>
> (1) v1 * t1 = h
> (2) v2 * t1 = L - h
> (3) v1 * t2 = L + d
> (4) v2 * t2 = (2 * L) - d

La (2) � stata da me corretta (c'era un errore di battitura e ti dico questo
per dovere di cronaca).

Questa per� � solo una ipotesi delle 3 possibili.
Le eq. (1) e (2) valgono per tutti e 3 i casi: nel primo incontro nessuno
dei due nuotatori raggiunge il lato opposto della piscina perch� viaggiano
in direzioni opposte.
Per il secondo incontro invece si devono discriminare i 3 casi possibili
corrispondenti alle 3 diverse soluzioni:

Caso 1
Nuotatore 1 raggiunge il lato opposto - Nuotatore 2 NON raggiunge il lato
opposto:
(3.1) v1 * t2 = L+d
(4.1) v2 * t2 = d

Caso 2
Nuotatore 1 NON raggiunge il lato opposto - Nuotatore 2 raggiunge il lato
opposto:
(3.2) v1 * t2 = L - d
(4.2) v2 * t2 = 2*L - d

Caso 3
Nuotatore 1 raggiunge il lato opposto - Nuotatore 2 raggiunge il lato
opposto:
(3.3) v1 * t2 = L + d
(4.3) v2 * t2 = 2*L - d

Devi semplicemente ripetere il procedimento che hai utilizzato anche per il
caso 1 e 2 (tu hai escluso a priori il verificarsi di casi possibili).
Il mio precedente metodo di soluzione basato sui tempi caratteristici (forse
pi� macchinoso del tuo), ma tipico di un fisico, faceva vedere
immediatamente il verificarsi di queste 3 eventualit� e dimostrava che ce ne
potevano essere solo 3.

Ciao

Sir Launcelot

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Risposta data a suo tempo:


Innanzitutto fissiamo gli elementi del problema:
Il ragazzo 1 parte dal lato SUD;
Il ragazzo 2 parte dal lato NORD;
Sia L la lunghezza (NORD-SUD) incognita;
Introduciamo l'asse x con origine nel lato SUD per descrivere il moto dei
due ragazzi;

Sono definiti due tempi caratteristici:
T1=L/v1 : tempo che impiega 1 per raggiungere la parte opposta (v1 � la
velocit� costante di 1)
T2=L/v2 : definito analogamente per 2.

Si ha:
x1(t)= v1 * t se t <= T1
x1(t)= L - v1 * (t-T1) se T1 <= t <= 2 * T1
e
x2(t)= L - v2 * t se t<= T2
x2(t)= v2 (t-T2) se T2<= t <= 2 * T2

Dato che 1 e 2 partono insieme (all'istante t=0) e vanno in direzioni
opposte, per l'istante del primo incontro tp si ha:
tp<min (T1,T2) e:
22 =v1 * tp = L - v2 * tp
da cui la relazione 22=L * (v1/(v1+v2))
(prima equazione)

ts sia l'istante del secondo incontro; si ha
ts>min (T1,T2) perch� almeno uno dei due ragazzi deve poter raggiungere
prima del secondo incontro il lato opposto
Per il secondo incontro sono possibili 3 casi:
a) T1<ts<T2 (1 ha finito la prima vasca e 2 no)
L-16=x1(ts)=x2(ts), cio�
L-16=L - v1 *(ts-l/v1)=L-v2 *ts

da cui L * (v2/(v1-v2)) = 16
Il problema pu� essere risolto con questa equazione e con la prima se
consideriamo come incognite L e solamente v1/(v1+v2). Si ha infatti
v2/(v1+v2) = 1 - v1/(v1+v2)
Il sistema fornisce l=29.7 (solo 1 slz. dell'eq. di 2^ grado).

b) T1<ts e T2<ts (1 e 2 hanno finito la prima vasca)
L-16=L - v1 *(ts-L/v1)=v2(ts-L/v2)
da cui 16=L * ( 3 * (v1/(v1+v2)) - 1 )
In questo caso quest'equazione, posta in sistema con quella iniziale,
fornisce L=50

c) T2<ts<T1 (2 ha finito la prima vasca e 1 no)
E' analogo al primo caso......scusa ma non mi fa voglia di fare il
conto....tanto ormai � chiaro...

Riflessione dal punto di vista fisico:
Dato che NON � richiesto il calcolo dei tempi, � importante capire che la
posizione dell'incontro dipende solo dal rapporto delle velocit� e non dai
loro valori (in quest'aspetto riconosco la difficolt� del problema che
sicuramente sfugge ad una prima veloce lettura...)
Quindi pu� sembrare di avere 3 incognite e 2 equazioni...,ma in realt� le
incognite sono due; esempio:
se v1=2 * v2 si ha subito
v1/(v1+v2) = 2/3 e v2/(v1+v2) = 1/3
Ovvero la slz � invariante per v1 ---> k *v1, v2 ---> k *v2
per ognuno dei 3 casi.
Received on Thu Aug 17 2000 - 00:00:00 CEST