Re: Domande per il relativisti

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/08/09

Valar wrote:

> Un po' di tempo fa stvo leggendo un libro di RG ("Gravitazione e
> Spazio-Tempo" di Ohanian-Ruffini), che praticamente e' il primo libro
> "serio" di relativita' generale, e quindi per la prima volta mi sono
> imbattuto nella soluzione di Swarzschild (spero si scriva cosi')
> ricavata per via matematica dalle equazioni di Einstein (per chi non lo
> sapesse la sol di S. e' la soluzione delle equazioni di Einstein per il
> campo gravitazionale o curvatura dello spazio tempo in presenza di un
> oggetto massivo omogeneo a simmetria sferica non rotante, e' tra l'altro
> il caso piu' semplice in cui si osserva un comportamento "strano" della
> struttura dello spazio tempo, quel comportamento che poi viene chiamato
> "Buco Nero")
> Tra le varie osservazioni ce n'era una che poneva l'accento sul fatto
> che attraversando il raggio di Swarzschild i due coefficienti
> (all'interno dell'espressione del quadrato dell'elemento di lunghezza
> dello spazio-tempo, il de_tau per intenderci) della variabile temporale
> e della variabile radiale cambiavano segno (ma penso che sia una cosa
> che accade in tutti i casi in cui si presentano buchi neri, corregetemi
> se sbaglio), quindi all'interno dell'orizzonte degli eventi la
> coordinata radiale (che prima era una coordinata spaziale) diventa una
> coordinata temporale, mentre la coordinata temporale diventa spaziale.

Ciao, prima una precisazione. La soluzione di Schwarzschild e' definita
fuori dall'orizzonte degli eventi (r>r_0). Esiste anche una soluzione
"interna", cioe' un'altra soluzione delle equazioni di Einstein di forma
analoga valida per r<r_0. r_0 e' il raggio di Schw.
Ora, esattamente per r=r_0 nessuna delle due soluzioni ha senso perche'
alcuni coefficienti della metrica perdono significato, e si tratta
di vedere se questa singolarita' sia dovuta alle coordinate oppure sia
intriseca.
E' possibile definirre delle nuove coordinate che valgano in un intorno di
r=r_0 e che diano luogo ad una trasformazione di coordinate
sufficientemente
differenziabile con le coordinate di Schw. sia dentro che fuori
dall'orizzonte.
Quindi la singolarita' era solo delle coordinate. Rappezzando in questo
modo
le due soluzioni si ottiene una soluzione grande delle equazioni di
Einstein
che descrive un buco nero. Si puo' mostrare che in realta' esistono dei
modi
massimali (in relazione al grado di differenziabilita' voluto ) di
rappezzare
pezzi di soluzione di Schw. Uno di questi e la famosa soluzione massimale,
analitica, di Kruskal... Quanto ho detto e' importante perche' a qualcuno
potrebbe venire in mente che anche la singolarita' in r=0 si possa
eliminare
cambiando coordinate. Bene invece e' impossibile: quella singolarita' e'
intrinseca nella varieta'. Per dimostrarlo bisogna considerare degli
scalari
associati alla metrica come il tensore di curvatura scalare o quadrati di
quello di
Riemann (quello di Ricci e' zero sempre). Dato che questi scalari sono
indipendenti dalle coordinate e io posso avvicinarmi quanto voglio nelle
coordinate di Schw. alla presunta singolarita' a r=0, posso anche prendere
il limite a r->0 e tale limite sarebbe il valore dello scalare in ogni
eventuale
sistema di coordinate buono definibile (se possibile) attorno a r=0 e anche

su r=0. Se per qualche scelta dello scalare qualche limite e' patologico
(e' infinito, non esiste...) significa che la singolarita' e' vera. Accade
questo nel caso del buco nero per r=0
(ora non mi ricordo da quale scalare si vede).



>
> Mi chiedevo:
>
> 1) questo cosa comporta a livello della struttura dello spazio-tempo
> all'interno del buco nero?
>

Fuori dal buco nero c'e' una campo di Killing temporale di tipo tempo
dato dai vettori tangenti alla coordinata t. In parole povere questo
significa
che ha senso, fuori dal buco nero, definire e sperimentare
concetti come l'invarianza per traslazioni temporali e particelle in quiete

nel campo gravitazionale. Inoltre sussiste invarianza per inversione
temporale
(lo spaziotempo e' statico oltre che stazionario) della metrica.
Dentro il buco nero il campo di Killing di prima cessa di essere temporale
e di piu' si puo' mostrare che non ci sono altri campi di Killing
temporali,
inoltre i coni di luce futuri si orientano tutti verso la singolarita'.
Questo significa che dentro il buco nero non e' possibile parlare di
particelle
"in quiete" con il campo gravitazionale e non c'e' alcuna nozione di
invarianza per traslazioni temporali (la gravita' cambia continuamente
passando il tempo) e la singolarita' e' nel futuro di tutte le particelle.
Piu' precisamente vale che qualunque particella che attraversa l'orizzonte

deve cadere nella singolarita' a r=0 (che e' di tipo spazio) in un tempo
proprio finito.
In effetti, con qualche calcolo si vede che tutte
le curve di tipo tempo futuro sono destinate a raggiungere r = 0 dopo
una lunghezza propria finita.


>
> 1 bis) per chi sta all'esterno il Buco nero ha un raggio di tot metri e
> ha una vita infinita (trascuro, almeno per adesso, gli effetti
> quantistici), ma queste due misure, credo, assumono significato
> "ruotato" se le si riferisce a cio' che accade all'interno del BN (per
> esempio per un osservatore in caduta libera all'interno del buco nero),
> quindi per chi si trova all'interno dell'orizzonte degli eventi la
> distanza dal centro del BN diventa infinita (cosa tra l'altro
> semiconfermata da un'affermazione di Hawking che lessi da qualche parte
> in cui diceva che il centro del buco nero non ri raggiungeva mai, se non
> erro), ma al tempo stesso vorrebbe dire che il tempo diventa limitato, o
> no? E poi limitato in quale direzione (io credo che sia un limite
> superiore)

In parte ti ho gia' risposto sopra. Pero' non e' proprio come dici.
Oltre l'orizzonte degli eventi la singolarita' occupa "ad un certo tempo
tutto lo spazio" e non e' "gia' in un certo posto" come mi pare che
pensi tu, e poi ci si cade dentro.

Per capirlo ti conviene immaginare questa situazione
che e' un po' simile a quello che succede nel buco nero. Prendi lo
spaziotempo di Minkowski
e prendi un iperpiano S di tipo spazio che taglia tutto lo spaziotempo.
Se ora prendi una particella la cui linea di universo inizia prima di S,
aspettando un periodo di tempo proprio lungo abbastanza, la particella
attraversera' S. Ecco dentro il buco nero e' la stessa cosa
da questo punto di vista: S e' la singolarita' e non c'e' modo
di evitarla perche' occupa "tutto lo spazio" in un dato futuro.
Ci sono delle grosse differenze, perche' su S in Minkowski
la geometria e' definibile, nella varieta' di Schw oltre l'orizzonte,
la geometria sulla singolarita' non e' definibile, anzi non e' nemmeno
una ipersuperficie la singolarita'!
Puoi intuire dalla metrica di SChw.
che e' difficile parlare di "distanza dalla singolarita'"
perche' non coesiste (nel buco nero, nel minkowski invece si!)
in qualche ipersuperficie di tipo spazio con te ma e' nel futuro, si puo'
parlare sicuramente di "distanza temporale" dalla singolarita'.
Volendo si puo' dire che la distanza spaziale e' infinita, perche'
se prendi una ipersuperficie
a r costante (r e' un tempo!) che passa per te questa interseca la
singolarita' a distanza infinita misurata su curve di tipo spazio
che giacciono sulla ipersuperficie, tuttavia e' un po' tirata per
i capelli e non rende l'idea di quello che in realta' accade.
(Nell'esempio nel Minkowski le cose sono un
po' diverse, ma puoi capire tutto da solo)
Se sei capace di disegnare diagrammi di Carter-Penrose
tutto quanto ti ho detto ti dovrebbe risultare chiaro.


>
>
> 2) a me viene da pensare che una persona in caduta libera verso un buco
> nero non si accorge di nulla nell'attraversare l'orizzonte degli eventi
> (tra l'altro l'ho letto da molte parti quindi credo che sia corretto),

Si, non capisce istantaneamente di avere attraversato l'orizzonte, sempre
che sia ancora vivo se non e' gia' stato ucciso dalle enormi forze di
marea.

>
> ma mi allo stesso tempo mi sembra strano che questa specie di
> "rotazione" delle coordinate (che, in un certo senso assomiglia al
> procedimento della rotazione di Vick in teoria dei campi) non comporti
> niente di strano

Comporta quello che ti dicevo: lo spaziotempo cessa di essere statico
e stazionario appena si attraversa l'orizzonte, ma non credo che,
in caduta libera, sia faciel rendersene conto in breve tempo.


>
>
> 3) e' questo cambio di segno che fa usare a Hawking l'espressione "tempo
> immaginario ortogonale al tempo normale" quando parla dei buchi neri e
> della singolarita' iniziale?
>

No, quella e' un'altra cosa che qui non c'entra niente. Hai presente
l'approssimazione WKB? Quando una particella attraversa una barriera
di potenziale, il calcolo con quell'approssimazione lo fai considerando
della soluzioni classiche di un problema con potenziale cambiato di segno
rispetto a quello vero (le particelle in questione vivono dentro la
barriera).
Questo equivale a sostituire t con it nell'Hamiltoniana, cioe' a passare
al tempo immaginario... Hawking usa un ragionamento di questo tipo
per spiegare (fare un modello) della creazione quantistica dell'universo...






>
> 4) Riprendendo per un attimo l'osservazione 2, ammesso anche che un
> osservatore in caduta libera non sente l'attraversamento dell'orizzonte
> degli eventi, gli effetti di questo "capovolgimento" delle variabili non
> sono osservabili da nessuno?

Le coordinate in gnerale sono solo "etichette" di eventi
e non hanno un significato fisico. pero' nel caso in esame i vettori
tangenti ad alcune coordinate (t e le coordinate angolari) corrispondono
a direzioni lungo cui lo spaziotempo e' invariante. la perdiata di
invarianza
temporale la vede l'osservatore in caduta nel BH. Ho dimanticato di dire
che
nasce un'invarianza per traslazioni spaziali lungo t che ora e' spaziale,
attraversando l'orizzonte, ma forse l'osservatore in caduta non ha
tanto tempo per rendersene conto!


Ciao, valter
Received on Wed Aug 09 2000 - 00:00:00 CEST