Il 13/10/2022 09:33, tucboro_at_katamail.com ha scritto:
> In altri lidi è emersa la seguente questione: un proiettile sparato in perfetta verticale dove ricade? Non c’è stata convergenza di opinioni, chi dice sulla testa del pistolero, chi “non proprio, lì vicino”.
Uso le approssimazioni già scritte, cioè considero solo
il campo di gravità uniforme e la forza di Coriolis
agenti sul p.m., trascuro la forza centrifuga,
gli attriti ecc. ecc., allora è possibile trovare
una soluzione in forma chiusa.
In un riferimento cartesiano con origine all'equatore,
asse x lungo un meridiano verso Nord, asse y lungo un
parallelo verso Ovest e asse z verso l'alto,
sia (w, 0, 0) la velocità angolare di rotazione della Terra,
sia (0, vy, vz) la velocità del p.m. con valore iniziale (0, 0, v0),
sia (0, 0, -g) l'accelerazione di gravità,
tutti i valori w, v0, g, positivi,
l'equazione del moto è (' = d/dt):
vy' = 2w vz
vz' = -2w vy - g,
siano v il vettore colonna (vy, vz), A la matrice
0 2w
-2w 0,
b il vettore colonna (0, -g), allora
v' = A v + b,
che ha soluzione
v(t) = exp(A t) (v(0) + A^-1 b) - A^-1 b
inoltre, posto a = 2w t, si ha exp(A t) =
cos(a) sin(a)
-sin(a) cos(a)
e A^-1 b è il vettore colonna (g/(2w), 0),
da cui
vy(t) = g/(2w) (cos(a) - 1) + v0 sin(a),
e integrando nel tempo
y(t) = g/(2w) (sin(2w t) / (2w) - t) + v0 / (2w) (1 - cos(2w t)),
vedi i grafici ottenuti e per confronto quello ricavato
dal calcolo approssimato del Landau Meccanica par. 39:
https://drive.google.com/file/d/1E3omZ-hAy7uEc6DFoXD3jD2WAHHtcIa-/view?usp=sharing
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Sat Oct 15 2022 - 11:45:13 CEST