Re: R: Simboli di Christoffel simmetrici?

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/07/28

Biagio wrote:

> Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it> wrote in message
> 397E8B67.8C1EF0FC_at_science.unitn.it...
>
> >
> > Ciao, no la dimostrazione del Landau e'
> > solo incompleta. Ora la completiamo.
> No in realt� credfo sia proprio sbagliata!!
> Ovviamente l'arbitrariet� della funzione � sufficiente a giustificare tutto
> cio' che segue nel tuo ragionamneto, ma il peccato di forma commessa dal
> landau sta nelle premesse.

Ciao, sono dovuto andare a rileggere il Landau per le "premesse" che dici.
In effetti fa un bel po' di casino. Ma credo ancora che la dimostrazione che
lui fornisce, completata come ho fatto io funzioni purche' si chiariscano
 *bene* le ipotesi.

Prima di ritornare sul pasticcio di Landau vorrei chiarire come stanno le cose
"davvero". Usero' il linguaggio indiciale dei fisici piuttosto che quello dei
matematici intrinseco, visto che siamo su it.scienza.FISICA, OK?

Prendiamo una varieta' a n dimensioni, assumo che tutti sappiate cosa sia
o almeno come maneggiarla in coordinate. NON assumo che sulla varieta'
ci sia una metrica per il momento.

Ora sapete bene che se prendo un campo tensoriale e ne derivo, in coordinate
le sue componenti (A e B sono insiemi di indici)

t^A_B -> _at__c t^A_B = u^A_{B c}


dove _at__c indica la derivata parziale rispetto alla coordinata c-esima,
l'insiemi dei coefficienti ottenuti al variare dei valori di A, B e c in
tutti i modi possibili NON definisce un tensore (a meno che t non sia
uno scalare).

Esiste una procedura per estendere il concetto di derivata in modo
da produrre tensori per derivazione. Dal punto di vista matematico
cio' significa definire una "connessione affine" sulla varieta'.

Senza farla tanto lunga, significa precisare, in ogni sisitema
di coordinate, dei coefficienti G^a_{bc} con a,b,c = 1,...,n
dipendenti dal posto, che si trasformano cambiando coordinate
con la solita legge che trovate nella formula (85,17) del capitolo X
del Landau. Ma attenzione, io ora sono espilcitamente
in un ambito molto piu' generale: non c'e' nemmeno una
metrica sulla varieta'. Assegno solo questi n^3
coefficienti in ogni sisitema di coordinate ed in ogni punto, ed
assumo che variando le coordinate e tenendo fisso il punto valga
la legge di trasformazione detta.

Infine si definisce la derivata covariante di un campo scalare come


D_a f := _at__a f


di un vettore controvariante come

D_a t^b := _at__a t^b + G^b_{ac} t^c

e si richiede che tale legge si estenda all'algebra tensoriale
imponendo la linearita', la legge di Leibnitz, la commutativita'
con le contrazioni. Si arriva alla fine alla solita regola
di derivazione covariante di un tensore arbitrario con
indici di qualsiasi tipo che Landau dice in (85,13) (85,14)
e generalizza nel commento sotto tali formule. Tuttavia ora
i coefficienti della metrica non sono i gamma di Landau delle (86,3),
ma sono molto piu' generali.


Nota una connessione possiamo definire il concetto di
geodetica rispetto a tale connessione, richiedendo che
il vettore tangente della curva sia trasportato con derivata
covariante nulla rispetto a se stesso. La formula che viene fuori
e' quella solita (87,3) di landau dove pero' i gamma sono i nostri
piu' generali coefficienti di connessione. Si noti un punto importante
a cui accennava Biagio: in tale equazione, se sostituisco ai coefficienti
G^i_{kl}, la loro parte simmetrica negli indici bassi

T^i_{kl} = (1/2) [G^i_{kl}+ G^i_{lk}]

l'equazione non cambia affatto. Ne consegue che, nel caso
staimo facendo la relativita' generale, anche se aggiungiamo
una parte antisimmetrica alla connessione usata da Landau
(connessione di Levi-Civita), le geodetiche rimangono le
stesse e non ce ne possimo accorgere studiando il moto
di singoli corpi in caduta libera! Questa e' stata una delle idee
che Einstein ha seguito per cercare di "infilare" nella geometria
dello spaziotempo anche il campo elettromagnetico, legato
ad una eventuale parte antisimmetrica della connessione.
Che io sappia la cosa non si e' pero' sviluppata.
La parte antisimmetrica pero' e' stata ripresa per cambiare
la relativita' generale in connessione allo spin delle particelle
come "Dumbo" ci ha spiegato un po' di tempo fa.

Torniamo alla strada principale.
Una volta che abbiamo dato una connessione, cioe' la nozione
di derivata covariante, possiamo osservare che benche' i coefficienti
della connessione G^a_{bc} non definiscano tensori a causa della
loro legge di trasformazione, la differenza simmetrica nei loro


T^i_{kl} = (1/2) [G^i_{kl}+ G^i_{lk}]

definisce un tensore (provare a cambiare coordinate per credere!)
Questo tensore viene detto tensore di torsione della connessione
o piu' semplicemente *torsione* della connessione.


Infine, SE sulla varieta' c'e' una metrica g_{ab}, allora una connessione
G e' detta essere compatibile con la metrica se la derivata covariante
della metrica si annulla ovunque:


D_a g_{bc} = 0


Sussiste il seguente teorema:

"Data una varieta' con metrica g_{ab} ESISTE ed e'
UNICA una connessione G detta di Levi-Civita
tale che:

1) la connessione ha torsione nulla, cioe' sia
*simmetrica*

2) la connessione e' compatibile con la metrica

In tal caso, i coefficienti di connessione sono dati
dai simboli di Christoffel [(86,3) del Landau] "


Sussite un secondo teorema per la connessione
di Levi-Civita

"Data una varieta' con metrica e connessione di
Levi-Civita, per ogni punto p, c'e' un sistema
di coordinate centrato in p in cui i coefficienti
di connessione si annullano in p (e la base
nello spazio cotangente in p puo' essere sempre
scelta in modo che g_{ab} sia in forma canonica
diagonale in p)"


ATTENZIONE: si puo' estendere il teorema a
connessioni generiche (cioe' tipi di derivate
covarianti non dedotte da una metrica in generale)
PURCHE' il *tensore di torsone sia nullo*
cioe' la connessione sia *simmetrica*. Viceversa,
se la torsione non e' nulla, in generale , fissato un punto
p, NON esistono coordinate in cui i coefficienti
di connessione si annullino in p.


DEFINIZIONE. Data una varieta' dotata di connessione
affine e fissato un punto p, un sistema di coordinate
centrato in p e' detto sistema di coordinate normali
riemanniane sse i coefficienti
di connessione si annullano in p (e la metrica in p
ha forma canonica diagonale) ".

NOTA1: I matematici definiscono le coordinate
normami in un modo piu' complicato usando
la funzione esponenziale e selezionando una classe
ancora piu' ridotta di coordinate. per quello che
ci interessa, la definizione data e' sufficiente.



NOTA2: se la connessione e' quella di Levi-Civita
l'annullarsi dei simboli di Christoffel e' *equivalente*
all'annullarsi di tutte le derivate prime dei
coefficienti della metrica (nel punto considerato).

=======================================

Veniamo al pasticcio di Landau.
Landau non chiarisce bene cosa intenda per
"coordinate galileiane".
Le definisce nel paragrafo 82 del capitolo X,
pero' fa del casino. La definizione e' (nell'edizione
italiana) in alto a pagina 299. E dice che sono
coordinate in cui la metrica ha forma diagonale canonica.
Pero' NON si capisce se la forma diagonale deve vale

1) OVUNQUE nelle coordinate oppure

2) in un punto solo.

Nel primo caso, se siamo in relativita' generale NON esistono
in generale coordinate galileiane, per cui la definizione e'
vuota a meno che non la stia dando nello spazio di Minkowski
(ma non lo dice!). Nel secondo caso NON servirebbero a niente!

I sistemi di coordinate rilevanti per il principio d equivalenza
non sono quelli in cui la metrica ha forma canonica ma
quelli in cui vale cio' e *in piu'* i coefficienti della metrica
ha anche derivate nulle nel punto considerato. In queste
coordinate, le geodetiche che escono dal punto centrale,
fino al secondo ordine delle coordinate sono delle rette
(= moto rettilineo uniforme) [usando le coordinate normali
dei matematici si arriva a provare che le geodetiche
sono davvero "rette" in coordinate normali dei matematici
quandoescono dall'origine] .

Nel paragrafo 85 in alto Landu dice che "in coordinate
galileiane i differenziali di un vettore formano
un tensore" Qui e' chiaro che sta usando coordinate
galileiane nel senso 1) di coordiante minkowskiane ed e'
*nello spazio di Minkowski*. La definizione 2) alternativa
che e' contraddittoriamente ribadita all'inizio di pagina
300, non e' ammissibile per che' non sarebbe vero che
 "in coordinate galileiane i differenziali di un vettore formano
un tensore". (c'e' una nota di fondopagina 300
che sembra dire qualcosa in proposito ma non capisco).

In ogni caso, sembra di capire che nel paragrafo 85,
****ed e' questo il punto da avere bene chiaro per capire
il "teorema" incriminato ****,
Landau stia generalizzando il concetto di derivata a derivata
covariante **senza fare riferimento alla metrica**.

Landau introiduce qui il concetto di derivata covariante rispetto
ad una *connessione affine arbitraria* esattamente come
dicevo sopra.

I coefficienti Gamma (pag 313 in fondo) che introduce, malgrado
li chiami "simboli di Christoffel" NON lo sono ancora (almeno nella
definizione moderna che ho dato sopra che fa esplicito riferimento
alla metrica):

sono invece solo i coefficienti di una connessione affine che
non "conosce la metrica" per ora.

Arriviamo al "teorema" incriminato a pag. 316. L'unico modo
di fare funzionare le cose e' quello di pensare che
"coordinate galileiane" significhi coordinate in cui
i coefficienti di connessione si annullino nel punto considerato
(centro delle coordinate), cioe' coordinate Riemanniane normali.


Il teorema si enuncia cosi' ed e' il contenuto di una NOTA
che ho scritto sopra.

"Se una connessione generica per ogni fissato punto
ammette un sistema di coordinate galileiane
(= *normali riemanniane*) centrate in tale punto, allora
la connessione ha coefficienti di connessione simmetrici
negli indici bassi (cioe' ha torsione nulla)"


La dimostrazione e' quella che fa Landau a pagina 316
tra "Dimostriamo che i simboli di Christoffel sono simmetrici..."
e la (85,16) inclusa. con le precisazioni che

1) I simboli di Christoffel di cui parla sono coefficienti
di una connessione affine generica;

2) le coordinate galileiane che ammette esistere sono
coordinate normali riemanniane (non e' necessario
che la metrica nel centro delle coordinate abbia forma diagonale
e' sufficiente che si annullino i coefficienti di connessione
in tale punto);

3) se necessario la dimostrazione deve essere integrata
con quanto ho aggiunto nei precedenti post.


Ho perso 2,5 ore a scrivere! Spero che le guadagnerete voi!

Ciao, Valter
Received on Fri Jul 28 2000 - 00:00:00 CEST