Federico Spano' <ferdnan2_nonevero__at_libero.it> scritto nell'articolo
<0r0sms0qs9s6u21dkfgn3jdakkka4gud3q_at_4ax.com>...
>
> On 13 Jul 2000 19:24:55 +0200, "dumbo" <_cmass_at_tin.it> wrote:
>
> >2) quando si parla di "spazio curvo", sia in fisica
> >che in matematica, si intende dire che in quello
> >spazio non vale la geometria euclidea, non si vuole
> >affatto dire che lo spazio � immerso in un iperspazio
> >a quattro o pi� dimensioni. Su questa possibile
> >" immersione " la cosmologia relativistica non ha
> >niente da dire, non se ne occupa, e si sviluppa
> >senza difficolt�, come un tutto organico e auto-
> >consistente, senza bisogno di fare un' ipotesi
> >del genere.
> >
> >Salute,
> >Corrado
>
> Ti ringrazio per il post che e' veramente esauriente e in massima
> parte coincide per fortuna con quanto avevo capito, solo che qualcuno
> da qualche parte aveva scritto che lo spazio tridimensionale e'
> infinito e mi aveva fatto venire dei dubbi.
B�, in effetti lo spazio tridimensionale pu� davvero essere
infinito: in geometria questo � possibile senza alcuna
contraddizione logica (spazio di Riemann a curvatura nulla,
cio� normale spazio di Euclide; e spazio di Riemann a
curvatura negativa, o spazio di Boylai e Lobaceski -- non
garantisco la grafia); per quanto riguarda lo spazio fisico
reale, non sappiamo se � infinito o no. Potrebbe.
> Pero' io, quando credevo di aver capito, avevo capito che la curvatura
> dello spazio 3d si ha in un'altra dimensione.
>
> Potresti spiegare meglio questo punto (anche con termini 'troppo
> tecnici' se vuoi, posso sempre andare a studiarmeli da qualche parte).
>
> Perche', il mio problema come avrai capito e' il seguente: dato che se
> vedo una superficie sferica 2d la vedo occupare la terza dimensione
> spaziale, come posso immaginare una superficie sferica 3d che non
> occupa un'altra dimensione?
>
> Non che la cosmologia e la fisica se ne debbano occupare per forza per
> fare un piacere a me, ma la geometria se ne occupa, no?
>
> Al momento posso immaginare uno spazio 3d in cui la geometria euclidea
> non vale perche' e' continuamente deformato (qualcosa di ondulato,
> nella mia immaginazione geometrica) ma se la deformazione e' costante
> (cioe' prende la forma di una sfera o di una conica) come fa a non
> occupare la dimensione aggiuntiva?
>
> Dico, se prendo il famoso foglio di gomma e ci faccio un iperboloide,
> quello rimane un foglio, cioe' una superficie 2d, ma il mio problema
> e' che non ce lo posso fare, l'iperboloide, se sono costretto in un
> piano!
>
> Che il tutto voglia dire che lo spazio 3d e' costretto in una sfera?
> Non e' troppo facile da immaginare, ma almeno il ragionamento
> funziona, mi pare...
>
> Grazie e ciao
>
> Federico Spano'
Si pu� benissimo proiettare una superficie curva
su un piano euclideo, purch� i campioni di lunghezza
non siano rigidi. La geometria "gommosa" che ottieni
� in tutto e per tutto una geometria non euclidea (cio�
equivalente alla geometria che vale sulla superficie
curva) anche se adesso non c'� niente che si curva
nella terza dimensione.
Mi spiego meglio:
considera una normalissima sfera a tre dimensioni (un
pallone da calcio); la sua superficie � un continuo 2d non
euclideo; infatti un automobilista piatto che ci viaggia
sopra andando "sempre dritto" (nel senso che non gira mai
il volante) si ritrova prima o poi al punto di partenza, cosa inconcepibile
su una superficie euclidea dove chi va sempre dritto non torna pi�.
Questo "non girare mai il volante" significa "seguire una linea geodetica"
Infatti una geodetica pu� essere definita come "linea che conserva
sempre la stessa direzione" (per chi vive sulla superficie, non per
chi � fuori ! ) e si pu� dimostrare che questa definizione
� del tutto equivalente all'altra (pi� famosa) "linea pi� breve tra due
punti" (preciso per evitare gli anatemi dei matematici:
in realt� � un estremale ma siccome parlo di una superficie
con (ds)^2 definito positivo l'estremale � anche minimo).
Siccome la geodetica sulla superficie sferica � l'analogo
della retta sul piano euclideo, posso tracciare con
archi di geodetica delle figure che sono del tutto analoghe
alle figure che sul piano euclideo si disegnano con segmenti di retta
(la retta � la geodetica del piano).Vedo allora che alcuni teoremi
euclidei non valgono pi�: per esempio la somma degli angoli interni
di un triangolo (disegnato sulla sfera) � maggiore di 180�,
per provarlo, prendi due punti A e B qualsiasi sull'equatore: l'arco
AB di equatore che li unisce � una geodetica; congiungi il primo di questi
punti col polo nord C, usando un arco AC di cerchio massimo passante per
il polo nord; anche AC � una geodetica; e poi f� lo stesso con B, e avrai
la terza geodetica AC; le tre geodetiche AB, AC e BC formano un triangolo
sferico di vertici A, B, C. La somma degli angoli interni di questo
triangolo sar� maggiore di 180� , perch� i due angoli alla base
(angolo in A e angolo in B) sono entrambi di 90�, e l'angolo in C � non
nullo;
La quantit� che eccede 180� si chiama eccesso sferico ed � in generale
funzione dell'area del triangolo; ma � comunque sempre un eccesso,
e da qui si usa dire che la curvatura della superficie sferica
� positiva.
Puoi costruire tutte le figure che vuoi e collegarle con varie relazioni
metriche, troverai che moltissime di queste relazioni non sono quelle
euclidee:
la somma degli angoli � un esempio, ce ne sono altri:
se, sulla sfera, disegni una circonferenza, definita
(come al solito) come luogo dei punti equidistanti
da un punto fisso detto centro, e chiami diametro il doppio
di questa distanza, trovi che il rapporto circ/diam � minore
di pigreco. E non � neanche costante, ma dipende dalla
lunghezza del raggio del cerchio, in rapporto al raggio
della sfera. Esempio: l'equatore � un esempio di circonferenza sferica,
con centro nel polo. La lunghezza della circonferenza � 2 pigreco R
dove R � il raggio della sfera, e la lunghezza del diametro � pigreco R
(cio� due volte la distanza tra equatore e polo); il rapporto circ/diametro
� quindi = 2, cio� minore di pigreco. OK ?
Ora considera una persona bidimensionale (un'ombra intelligente)
costretta a vivere appiattita sulla superficie sferica senza avere la
minima capacit� di "vedere" intuitivamente la terza dimensione in
cui la superficie, che � tutto il suo habitat, si trova immersa.
Pu� questa ombra (con strumenti di misura appartenenti al suo
mondo, cio� con regoli-ombra rigidi) capire che la superficie su cui
vive � non euclidea? E pu� capirlo con misure intrinseche al suo
mondo, senza mai dare una sbirciatina "dal di fuori" ?
Assolutamente s�. Basta che disegni un triangolo (dove per lei
triangolo significa, come ti ho detto sopra, area racchiusa da tre
geodetiche che si intersecano) e misuri la somma degli angoli interni:
trover� un eccesso, e capir� che il suo mondo � una superficie a
curvatura positiva; oppure, se vuole, pu� tracciare una circonferenza,
misurarla e misurare anche il diametro, poi calcolarne il rapporto;
dal valore minore di pigreco capir� la sua situazione. Come vedi con
osservazioni e misure totalmente interne alla superficie pu� arrivare
benissimo a capire di vivere in un mondo non euclideo.
(e lo stesso vale per uno spazio: per vedere se il nostro spazio �
euclideo o no, basta tracciare delle geodetiche o delle circonferenze
e vedere se le relazioni metriche sono o no quelle previste
dalla geometria spaziale euclidea; non c'� alcun bisogno di
uscire dall'universo e osservarlo dal di fuori, guardando se per
caso si curva in un iperspazio).
OK ?
Sono un p� prolisso ma oggi mi viene cos�, porta pazienza.
Se sei stanco di parole e vuoi delle lucide e concise formule,
leggi quello che ti scrivo adesso; se no salta tutto e arriva
fino al segno XXXXX che trovi parecchie righe pi� sotto, e
ricomincia da l�.
Considera una normale sfera nel normale spazio euclideo
a tre dimensioni, con terna di assi cartesiani x,y,z;
l'equazione della superficie della sfera riferita a
questa terna � evidentemente
x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = R ^ 2 ( 1 )
dove R � il raggio della sfera.
Adesso considera la superficie bidimensionale della sfera;
prendi due punti A e B sulla superficie, e prendili molto vicini,
a una distanza infinitesima ds, il cui quadrato � (ds)^2; la
differenza (infinitesima) tra la coordinatra x di A e la coordinata x
di B (mi servo sempre della terna cartesiana prima
introdotta) sar� dx, e (dx) ^ 2 il suo quadrato; e analogamente
sar� (dy) ^ 2 il quadrato della differenza infinitesima tra la
coordinata y di A e la coordinata y di B, sempre con riferimento
alla terna dello spazio tridimensionale esterno in cui la
superficie curva � immersa. E infine sar� (dz)^2 il quadrato
ecc ecc.
Ovviamente la distanza (al quadrato) infinitesima tra A e B
riferita alla terna x,y,z sar� data dal teorema di Pitagora nello
spazio euclideo
(ds) ^ 2 = (dx) ^ 2 + (dy) ^ 2 + (dz) ^ 2 ( 2 )
Adesso torniamo alla ( 1 ); differenziamola (ricordando
che R = costante e quindi dR = 0 ) e otteniamo
x dx + y dy + z dz = 0 ( 3 )
da questa si ricava dz,
dz = -- ( x dx + y dy) / z ( 4 )
che introdotta nella ( 2 ) d�
(ds) ^ 2 = ( dx ) ^ 2 + ( dy ) ^ 2 +
+ ( 1 / z ^ 2 ) ( x dx + y dy) ^ 2 ( 5 )
Ma la ( 1 ) dice che
z ^ 2 = R ^ 2 -- x ^ 2 -- y ^ 2 ( 6 )
Introducendo la ( 6 ) nella ( 5 ) si ha finalmente
(ds) ^ 2 = (dx) ^ 2 + (dy) ^ 2 +
+ [ ( x dx + y dy) ^ 2 ] / (R^2 -- x^2 -- y^2) ( 7 )
Osserva: la ( 7 ) � un'espressone che d� il quadrato della distanza
tra due punti della superficie in funzione di due sole coordinate, x e y,
e di una costante R caratteristica della superficie: non siamo obbligati
a vedere R a tutti i costi come il raggio della sfera tridimensionale cui
appartiene la superficie in esame, si tratta semplicemente di una
costante che appare in una formula ( la ( 7 ) ) che d� la distanza
tra due punti su una superficie, in funzione di due coordinate x e y:
in altre parole la ( 7 ) esprime la geometria della superficie sferica
in forma intrinseca, cio� senza alcun riferimnento alla variet�
tridimensionale esterna in cui la superficie � immersa.
Infatti come vedi la terza dimensione, cio� z, � sparita, ci siamo
serviti di lei come di una scala per arrivare al risultato finale ( 7 ),
poi abbiamo buttato via la scala. La z non c'� pi�. Solo x e y, e
una costante R. Quest'ultima caratterizza la deviazione della geometria
della superficie in esame dalla geometria del piano euclideo.
Se R � infinita, ottieni la geometria euclidea perch� la (7) si riduce
al solito teorema di Pitagora valido sul piano, cio�
(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2.
E se vogliamo rappresentare uno spazio a tre dimensioni non
euclideo (e curvatura positiva) ? Basta generalizzare la ( 7 )
aggiungendo la terza dimensione z, e abbiamo:
(ds) ^ 2 = (dx) ^ 2 + (dy) ^ 2 + (dz) ^ 2 +
+ [ (x dx + y dy + z dz) ^ 2 ] / ( R^2 - x^2 - y^2 - z^2 ) ( 8 )
dove non compare nessuna quarta dimensione di nessun
iperspazio "contenitore", ma solo le tre coordinate x, y,z dello
spazio tridimensionale, e una costante R che
caratterizza la deviazione della geometria di tale spazio
dalla geometria dello spazio ordinario (euclideo).
Conclusione: come vedi si pu� studiare uno spazio non euclideo
(quello che sbrigativamente, ma scorrettamente, si chiama
spazio curvo: ormai il termine � entrato nell'uso) senza bisogno di
riferirlo a un iperspazio contenitore; la sua "curvatura" (meglio:
la sua non-euclideit�) � una propriet� intrinseca, esprimibile
completamente tramite una metrica ( il (ds)^2 ) tridimensionale,
senza riferimenti a iperspazi con numero di dimensioni > 3.
I quali, ripeto, possono esistere o non esistere, ma anche se
esistono possono essere tranquillamente ignorati, ed � quello
che normalmente si fa.
E aggiungo per completezza: se vuoi avere uno spazio curvo
in espansione, basta considerare R una funzione del tempo.
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXx
Torno ora alle tue domande:
>Perche', il mio problema come avrai capito e' il seguente: dato che se
> vedo una superficie sferica 2d la vedo occupare la terza dimensione
> spaziale, come posso immaginare una superficie sferica 3d che non
> occupa un'altra dimensione?
Insomma tu dici: " ho dei problemi di visualizzazione " .
Certo, nessuno potr� mai immaginare uno spazio tridimensionale
che si curva in un iperspazio con pi� di tre dimensioni. Il cervello
che abbiamo � tridimensionale e le sue capacit� intuitive non superano
certi limiti. Per� non c'� alcun bisogno di immaginare l'iperspazio,
proprio come non c'� alcun bisogno di introdurlo nelle formule.
Anche per il problema della visualizzazione, si pu� fare tutto restando
nell'ambito di tre dimensioni. Te lo faccio vedere tornando al
caso della superficie non euclidea bidimensionale.
Sappiamo che la superficie a curvatura positiva della sfera � tale,
che i "triangoli" hanno un eccesso angolare, e che il rapporto
circ/diam di un cerchio � minore di pigreco. Bene, le stesse
deviazioni dalla geometria euclidea si possono ottenere anche
restando su un piano, senza alcun bisogno di fare disegni
su una superficie sferica! E' sufficiente che gli strumenti con cui
misuri le cose si deformino in modo opportuno.
Prima ho parlato dell'ombra intelligente che vive sulla superficie
della sfera; adesso immagina che l'ombra sia trasferita (senza che
se ne accorga, la trasportiamo mentre dorme) su un piano euclideo.
Le togliamo di mano per� gli strumenti rigidi (regoli campione)
che aveva mentre abitava sulla sfera, e al loro posto (sempre senza
dirle niente) mettiamo degli strumenti che si deformano in questo
modo: man mano che si allontanano dal punto dove si trova l'ombra
che dorme, chiamiamo O quel punto, i regoli di misura diventano
pi� lunghi, secondo la legge L(d) = L(0) ( 1 + K d^2) dove L(d) � la
lunghezza del regolo campione a distanza d da O; in O la lunghezza
� L(0); K � una costante positiva. Questo allungamento lo vediamo
noi, che dominiamo la situazione dall'alto e mettiamo a confronto
i regoli "elastici" dell'ombra coi nostri, presi come rigidi. L'ombra
invece non se ne pu� accorgere, perch� spostandosi da O a un
altro punto A, dove (per noi) il suo metro � diventato un chilometro,
lei lo vedr� sempre lungo un metro, perch� anche il suo corpo si �
dilatato nello stesso modo, e ogni altro corpo di riferimento ha
subito la stessa variazione. Insomma, la legge di dilatazione
� veramente generale per le cose che abitano quel mondo
bidimensionale, cosicch� ce ne possiamo accorgere noi che
non viviamo in quel mondo e lo vediamo dal di fuori, ma non se
ne pu� accorgere lei che � prigioniera della superficie e soggetta
come tutte le cose l� sopra alla dilatazione: dal suo punto
di vista, non c'� niente che si dilati, tutto � rigido, perch� non c'�
nel suo mondo nessun corpo che, sfuggendo alla dilatazione
generale, possa servirle da indicatore della dilatazione degli
altri corpi.
Ora, supponiamo (l'abbiamo svegliata, e lei � convinta di
essere ancora sulla sfera) che si metta a tracciare cerchi e triangoli,
e a fare misure di angoli e di rapporti circ / diam. Trover�
somme di angoli interni > 180� e rapporti < pigreco, proprio
come quando era sulla sfera, e potr� dire in tutto e per tutto
di vivere in un mondo non euclideo. Non si accorger� mai del
cambiamento perch� non c'� nessuna differenza tra la geometria
di una superficie curva esplorata con regoli rigidi e la geometria
di una superficie piana esplorata con regoli deformabili.
Con la legge di dilatazione che ti ho scritto sopra, la geometria
sulla superficie sferica e la geometria sul piano sono identiche.
(c'� solo qualche problema con i punti all'infinito, ma lasciamo
perdere).
Che non ci sia differenza si vede bene da questo:
immagina di vedere l'ombra (la vedi dall'alto della terza
dimensione, mentre lei striscia appiattita sul tavolo)
che traccia una circonferenza: � una circonferenza sia per
lei che per te, perch� � il luogo dei punti equidistanti da
un punto (il centro O) e su questo fatto sia tu che lei
concordate. Noi misuriamo la circonferenza e il diametro
coi nostri regoli rigidi, facciamo il rapporto e troviamo
pigreco: ovvio, dato che il cerchio � su un piano.
Poi stiamo a osservare lei, mentre fa le sue misure.
Noi, il suo processo di misura lo vediamo in
questo modo: mentre appoggia il suo regolo lungo
la circonferenza, il regolo ha sempre la stessa
lunghezza (perch� sempre alla stessa distanza da O);
mentre lo appoggia lungo il diametro, il regolo si accorcia
avvicinandosi a O (perch� la regola �: dilatazione al
crescere della distanza da O) e quindi per coprire il
diametro dovr� appoggiare il regolo moltissime volte
(perch�, appunto, diventa sempre pi� corto in prossi-
mit� del centro). Adesso telefoniamo all'ombra e le
diciamo: "ehi, ti abbiamo vista misurare il cerchio,
che risultato hai ottenuto ? "
Lei dir�: " il rapporto circ/diam � minore di pigreco"
E noi: "come lo spieghi? "
E lei: " Cosa c'� da spiegare? E' sempre stato cos�,
sono sempre vissuta su una sfera, perch� vi
meravigliate? "
E noi: " ma guarda che sei su un piano"
E lei "impossibile, sul piano avrei ottenuto pigreco"
E noi: " solo se avessi usato un regolo rigido;
invece hai usato un regolo che si dilata allontanandosi
da O; quindi avvicinandoti ad O il tuo regolo si
accorciava e per coprire il diametro hai dovuto
appoggiarlo moltissime volte, tante che alla fine
il rapporto circ/diam ti � risultato minore di pigreco."
E lei " che dite mai? Il mio regolo era rigido!"
E noi: " lascia parlare noi che vediamo bene le
cose dall'alto; non � rigido e non lo sei neanche
tu e nessuna delle cose che strisciano sul tuo
mondo piatto; ecco perch� non te ne puoi accorgere:
non hai un campione di riferimento veramente rigido
che mostri la mancanza di rigidit� degli altri".
A questo punto dovr� crederci sulla parola, perch�
secondo le sue misure la geometria della sua superficie
� decisamente sferica, nonostante non si curvi da nessuna
parte, nonostante sia su un piano!
A questo punto spero di aver risposto (bench�
in modo prolisso) alla tua domanda,
che riscrivo qui:
> Perche', il mio problema come avrai capito e' il seguente: dato che se
> vedo una superficie sferica 2d la vedo occupare la terza dimensione
> spaziale, come posso immaginare una superficie sferica 3d che non
> occupa un'altra dimensione?
La risposta � appunto che non � obbligatorio pensare alla
geometria della superficie sferica come dovuta a un
incurvamento nella terza dimensione, puoi pensare che la
superficie sia piana e gli strumenti di misura deformabili
secondo una certa legge.
E allo stesso modo puoi benissimo immaginare una superficie
sferica 3d che non occupa un' altra dimensione, basta pensare
che i corpi che contiene si deformino con lo spostamento.
Salute,
Corrado Massa
Received on Mon Jul 24 2000 - 00:00:00 CEST
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