Geodetiche e parametrizzazione

From: Biagio <dimiccob_at_libero.it>
Date: 2000/07/20

Sono alle prese con un esame e mi vorrei porvi alcune domande. Mi potreste
dire chiedile ad un docente, ma ho gi� chiesto senza una spiegazione che mi
ha soddisfatto.
Veniamo al dunque.
1) Supponiamo di avere una varieta di Riemann, quindi con un tensore metrico
definito positivo. Vogliamo determinare le equazioni parametriche delle
geodetiche su di una variet�. Supponiamo di avere un punto X a cui associamo
un valore del parametro t1 e un punto Y a cui associamo un valore t2.
A questo punto la letteratura procede in vari modi. Li elenco per gradi di
approssimazione.

Scritto il funzionale solito (int_{t1}^{t2}f(q,q')dt) viene calcolata la
variazione infinitesima rispetto alle euazioni parametriche della curv q e
q', con la solita introduzione del delta minuscolo, si passa il delta sotto
l'integrale e si effettuano variazioni infinitesime sull'argomento, alla
fine si arriva alle equazioni di lagrange. In tutto questo procedimento non
si considerano variazioni degli estremi di integrazione, mi sembra che
questa scelta � un po' arbitraria, nel senso che tra le varie curve su cui
effettuo le variazioni dovrei scegliere anche una che abbia una
parametrizzazione tale da variare gli estremi di integrazione.

2) Il secondo procedimento sembra tener conto di questo.
In questo caso scritto l'integrale di cui sopra, si definisci una variazione
un famiglia di curve parametrizzata da un parametro t (parametro della
curva) e un parametro s, parametro della famiglia che seleziona la curva
desiderata. Si sostituisce nell'integrale le funzioni q(s,t) e q'(s,t) e
agli estremi t1(s) e t2(s). A questo punto si deriva l'espressione ottenuta
rispetto ad s e nella derivazione compaiono termini dipendenti dai ti(s) e
un termine in forma integrale il cui argomento � dato dalle equazioni di
lagrange.
A questo punto sembra tutto perfetto, nel senso che abbiamo tenuto conto
della variabilit� degli estremi di integrazione. Ma ecco che il testo a
questo punto fa un'ipotesi aggiuntiva, ossia che la variazione f(s,t) (ossia
la famiglia di cui prima) sia tale che t1(s) = t1(0) = t1 e t2(s) = t2(0) =
t2, e ricava le equazioni di lagrange. Di fatto ci siamo messi nelle stesse
condizioni di prima, anche se attraverso un procedimento piu' rigoroso.
Quello che chiedo, non esiste un modo per minimizzare il funzionale senza
imporre le ultime restrizioni??? E far poi notare che il risultato �
indipendente dalla scelta della parametrizzazione?? (Come ovviamente
doivrebbe essere).

Se non siete troppo stanchi vi pongo quest'altro problema. Supponiamo di
essere riusciti a risolvere il problema di cui sopra. Consideriamo una
variet� lorentziana, in tal caso la metrica � indefinita, dunque quando
definizmo il funzionale da minimizzare dobbiamo (scegliere?? questa � la
domanda) se le curve su cui effettuiamo variazioni sono di tipo luce, tempo
o degeneri. Cosa mi impedisce, a questo livello di discussione, ossia
puramente matematico, di considerare curve per un tratto degenerti e per un
tratto time-like o space-like?? Data una variet� e due punti su di essa
trovo una geodetica per ogni classe di curva?? Ossia una degenere una
time-like e una space-like??
Oppure esiste un metodo di minimizzazione rispetto ai tre tipi. Ossia
minimizzo il funzionale e il risultato dela minimizzazione puo' essere una
curva degenere space -like o time-like??

Spero che abbiate sufficiente pazienza da rispondermi, milioni di
ringraziamenti Biagio
Received on Thu Jul 20 2000 - 00:00:00 CEST