Re: Geodetiche e parametrizzazione

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/07/20

Biagio wrote:

> Sono alle prese con un esame e mi vorrei porvi alcune domande. Mi potreste
> dire chiedile ad un docente, ma ho gi� chiesto senza una spiegazione che mi
> ha soddisfatto.
> Veniamo al dunque.
> 1) Supponiamo di avere una varieta di Riemann, quindi con un tensore metrico
> definito positivo. Vogliamo determinare le equazioni parametriche delle
> geodetiche su di una variet�. Supponiamo di avere un punto X a cui associamo
> un valore del parametro t1 e un punto Y a cui associamo un valore t2.
> A questo punto la letteratura procede in vari modi. Li elenco per gradi di
> approssimazione.
>
> Scritto il funzionale solito (int_{t1}^{t2}f(q,q')dt) viene calcolata la
> variazione infinitesima rispetto alle euazioni parametriche della curv q e
> q', con la solita introduzione del delta minuscolo, si passa il delta sotto
> l'integrale e si effettuano variazioni infinitesime sull'argomento, alla
> fine si arriva alle equazioni di lagrange. In tutto questo procedimento non
> si considerano variazioni degli estremi di integrazione, mi sembra che
> questa scelta � un po' arbitraria, nel senso che tra le varie curve su cui
> effettuo le variazioni dovrei scegliere anche una che abbia una
> parametrizzazione tale da variare gli estremi di integrazione.

Ciao, le geodetiche sono *definite* ( variazionalmente) come quelle
curve che ammettono una riparametrizzazione
 g : [a,b] -> M che stazionarizza (la proprieta' di minimo vale solo
per archi sufficientemente corti.) il funzionale lunghezza per variazioni
che mantengono fissi gli estremi della curva, nel paramentro e nello
spazio.
Una volta definite le geodetiche in questo modo, puoi provare che
data una geodetica, esiste sempre una riparametrizzazione che porta
le equazioni in forma piu' semplice in cui compaiono i simboli della
connessione di Levi-Civita. La parametrizzazione per ottenere le equazioni
in tale forma e' data dall'ascissa curvilinea e da ogni cambiamento affine
di essa: s -> a s + b = s' con a >0 e b costanti.

Le geodetiche espresse in uno di questi parametri affini soddisfano la
definizione non variazionale di geodetica: che il vettore tangente e'
trasportato "parallelamente" rispetto alla derivata covariante
associata alla connessione di Levi-Civita. Nella seconda definizione, una
geodetica e' definita piu' strettamente infatti non solo la curva e' fissata,
ma anche una sola classe di riparametrizzazioni (quelle affini).
Nella prima definizione si assume che esista una riparametrizzazione
tale che..., ma una volta che si ha stabilito che questa esiste, ogni altra
riparametrizzazione e' ammissibile.


>
>
>
>
> Se non siete troppo stanchi vi pongo quest'altro problema. Supponiamo di
> essere riusciti a risolvere il problema di cui sopra. Consideriamo una
> variet� lorentziana, in tal caso la metrica � indefinita, dunque quando
> definizmo il funzionale da minimizzare dobbiamo (scegliere?? questa � la
> domanda) se le curve su cui effettuiamo variazioni sono di tipo luce, tempo
> o degeneri. Cosa mi impedisce, a questo livello di discussione, ossia
> puramente matematico, di considerare curve per un tratto degenerti e per un
> tratto time-like o space-like?? Data una variet� e due punti su di essa
> trovo una geodetica per ogni classe di curva?? Ossia una degenere una
> time-like e una space-like??
> Oppure esiste un metodo di minimizzazione rispetto ai tre tipi. Ossia
> minimizzo il funzionale e il risultato dela minimizzazione puo' essere una
> curva degenere space -like o time-like??
>

Ti dico subito che non esiste un modo variazionale univoco che definisce
le geodetiche di qualsiasi tipo in varieta' con metrica indefinita.
L'unica definizione generale e' quella basata sul trasporto parallelo e
questa vale anche se le curve sono di tipo luce.
Una volta definita una geodetica per tale via, esistono teoremi rigorosi
e abbastanza difficili da formulare che dicono in quele senso la geodetica
minimizza o massimizza qualche funzionale (normalmente non si usa
il funzionale lunghezza perche' e' singolare, ma il suo "quadrato"
(che in realta' puo' essere negativo) eche viene chiamato dai matematici
il funzionale "energia" (anche se in generale non c'entra niente), e per
quale tipo di variazioni.






>
> Spero che abbiate sufficiente pazienza da rispondermi, milioni di
> ringraziamenti Biagio

Spero di averla avuta.Ciao, Valter
Received on Thu Jul 20 2000 - 00:00:00 CEST