Re: spazi piatti e sistemi di riferimenti privilegiati

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/07/14

Biagio wrote:

> Nell'introduzione del Papapetrou, Lectures on General
> Relativity, si afferma:
> The Minkowski space of special relativity is the simplest form of a Riemann
> space: it is flat space and therefore it allows a set of geometrically
> preferred coordinate system, which are the inertial frames. In general
> relativity the Minkowski space is replaced by a curved Riemann space, in
> which there are no preferred coordinate systems.
>
> La domanda �: perch� il fatto che lo spazio sia piatto induce direttamente
> un sitstema di coordinate privilegiato. In che senso esso � privilegiato.
> Perch� su una variet� curva non posso introdurre un sistema di coordinate in
> qualche modo privilegiato privilegiato?

Perche' (localmente) piatto, in varieta' lorentziane, significa una delle tre
seguenti
cose *equivalenti*

(1) il tensore di curvatura di Riemann e' identicamente nullo nell'intorno
considerato;

(2) non c'e' deviazione geodetica tra geodetiche di tipo tempo nell'intorno
considerato;

(3) c'e' *un sistema di coordinate* dove la metrica e' in forma diagonale
nell'intorno considerato

(l'intorno puo' anche essere tutto lo spaziotempo, in tal caso si parla di
varieta'
globalmente piatta come dicevamo nell'altro post.).

Tieni conto che dal punto (3) allora scatta subito un teorema che ti assicura
che
esistono infiniti sistemi di coordinate (nello stesso intorno) che
diagonalizzano
la metrica e la trasformazione di coordinate tra questi sistemi appartiene
(la parte non traslazionale) ad un gruppo continuo (di Lie) detto gruppo
di stabilita' della metrica, che per varieta' Lorentziane e' il gruppo di
Lorentz
e per varieta' Riemanniane e' il gruppo ortogonale.

Le coordinate di questa classe sono privilegiate perche' in esse la metrica
ha una forma diagonale.

Dal punto di vista fisico, una volta assunata la RG si vede che in tali
coordinate
il moto dei corpi puntiformi non soggetti a forze non gravitazionali
(in moto geodetico) si muovono in modo rettilineo uniforme.
Per tale ragione queste coordinate rappresentano in termini matematici
i sisitemi di riferimento inerziali.

>
> Sembra che questo sia il modo con cui la RG risolva il problema del sistema
> di riferimento assoluto. E' cosi'?

In RG, in generale NON ci sono sistemi di riferimento privilegiati, se la
metrica
non e' piatta. Tuttavia non e' nemmeno vero' del tutto. Se la metrica ha
particolari
simmetrie continue (simmetrie di Killing) allora e' possibile trovare delle
coordinate
in cui la metrica ha una forma "piu' semplice che in generale". Queste
coordinate
sono importanti per esempio nella teoria quantistica dei campi in spaziotempo
curvo
perche permettono di definire delle nozioni di particella quantistica...

Ciao, Valter
Received on Fri Jul 14 2000 - 00:00:00 CEST