Re: meccanica relativistica

From: dumbo <_cmass_at_tin.it>
Date: 2000/07/12

Llark <triodrombo_at_libero.it> scritto nell'articolo
<39682553.732985_at_news.libero.it>...
>
( > mercoled� 12 ho la maturit�

> Il mio libro di testo, dopo aver definito (non spiegato) la formula
> della quantit� di moto relativistica, dice: << Nella meccanica
> relativistica definiamo la forza risultante che agisce su una
> particella come la rapidit� di variazione della quantit� di moto
> relativistica. Si pu� quindi calcolare il lavoro compiuto da questa
> forza (come? ndme) e lo si pu� eguagliare alla variazione di energia
> cinetica. I risultati di questo calcolo verranno dati senza
> dimostrazione (perdindirindina! nd me) L'energia cinetica di una
> particella che si muove a velocit� v � data da Ec="gamma"mc^2-mc^2 >>
> se qualcuno riesce a darmi qualche spiegazione non troppo complicata
> anche sulla quantit� di moto relativistica sar� ancora pi� contento!
> vi ringrazio in anticipo
> ciao
> Stefano Vetrini
>
> PS "gamma" � naturalmente uguale a 1/(1-(v^2/c^2))^(1/2)
> --

data l'urgenza per te ci vorrebbe un e-mail;
purtroppo per ragioni tecniche da oltre un mese non posso
mandare e-mail a nessuno; quindi ti scrivo sul NG
(ma penso che qualcuno ti abbia gi� risposto privatamente)

Siamo in un laboratorio K con una particella ferma
davanti a noi; vogliamo accelerarla fino a una velocit�
finale V; che energia dobbiamo darle? Definisci la forza cos�:

F = d P / d t ( 1 )

dove t � il tempo (misurato dagli orologi di K) e P � la
quantit� di moto (o momento lineare, suona meglio).
Il lavoro infinitesimo fatto dalla forza lungo il tratto
infinitesimo dz �

d L = F dz = ( dP / dt) dz = (dz / dt) dP = v dP

dove v = dz / dt � la velocit� della particella rispetto a K.

Il lavoro da fare per arrivare alla velocit� V � ovviamente
l'integrale di dL ; questo lavoro sar� anche l'energia cinetica Ec
(non � uno starnuto) della particella a velocit� V, e quindi

Ec = integrale di v dP = S v dP

dove S � il segno di integrale; integriamo per parti e abbiamo:

Ec = v P -- S P dv

dove gli estremi di integrazione sono v = 0 e v = V.

A questo punto ricordiamo che

P = m v / ( 1 - v ^ 2 / c ^ 2 ) ^ 1/2 = m v g (per brevit�)

dove m � costante (cio� non dipende da v: � ci�
che qualche volta viene chiamata massa di quiete)

e otteniamo

Ec = m v ^ 2 g -- ( m / 2 ) S g (v) d ( v ^ 2)

che conviene scrivere cos�:

Ec = m v ^ 2 g -- ( m c^2 / 2) S g (v) d ( v^2 / c^2 )

cio� (ponendo (v / c) ^ 2 = x )

Ec = m v ^ 2 g -- ( m c ^ 2 / 2 ) S (1 -- x ) ^ ( -- 1 / 2) d x

L'integrale � veramente facile. Si trova (tenendo presenti
gli estremi di integrazione x = 0 e x = V ^ 2 / c ^ 2 )

Ec = m v ^ 2 g + m c ^ 2 (1 / g) -- m c ^ 2

cio�, sistemando i termini,

Ec = m c ^ 2 g -- m c ^ 2

dove g = 1 / ( 1 - V ^ 2 / c ^ 2 ) ^ ( 1 / 2 ).

Per v << c diventa la solita Ec = m V ^ 2 / 2
   
(si pu� dimostrare che 1 / ( 1 -- q^2)^1/2 =

1 + ( 1 / 2) q ^ 2 se si trascurano potenze di q

superiori alla seconda.)


Per quanto riguarda la definizione di quantit� di moto,
in relativit� si usa P = m v / ( 1 -- v ^ 2 / c ^ 2 ) ^ 1 / 2
perch� solo questa (e non la vecchia m v) si conserva
in tutti i sistemi di riferimento.
Si pu� anche dire: � il principio di conservazione della
quantit� di moto che impone l'abbandono della vecchia
m v e l'adozione della nuova P = ecc.
Per v << c si ritrova P = m v.
Ci sarebbe altro da dire, ma l'urgenza consiglia di
fermarci qui.

Ciao !

Corrado
  
Received on Wed Jul 12 2000 - 00:00:00 CEST